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硕士研究生入学考试大纲考试科目名称: 泛函分析一、援引教材
《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江泽坚 孙善利编
二、考试要求
要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理,并且能灵活运用,具备较强的分析问题与解决问题的能力。
三、考试内容
(一)距离线性空间
1. 距离线性空间的定义,常见的距离线性空间的距离定义及其性质。
2. 距离空间中的拓扑涵义,可分空间。
3. Cauchy序列的性质,距离空间的完备性。
4. 列紧集,完全有界集的定义及它们之间的关系。
5. 赋范线性空间定义;范数与距离的关系;有限维赋范线性空间的结构。
6. 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。
7. 常见空间以及等空间中距离与范数之间的定义及关系。掌握这些空间的可分性,完备性及拓扑性质。
8. 压缩映射定义,掌握压缩映象原理,并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。
(二)Hilbert空间
1. 内积空间的定义,性质;内积与范数、距离之间的关系。
2. 赋范线性空间成为内积空间的条件,常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。
3. 掌握内积空间的定义及其性质。
4. Hilbert空间的定义;Hilbert空间上的正规正交基,正规正交分解;
5. 掌握并熟练运用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。
6. 掌握可分Hilbert空间的结构。
7. 掌握射影定理,理解其涵义,并能加以应用;掌握表现定理,Hilbert空间上的线性泛函的表示。
8. Hilbert共轭算子的定义、性质及其表示;可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式。
(三)Banach空间及Banach空间上的有界线性算子
1. Banach空间上的有界线性算子定义;算子范数的计算;范数的比较。
2. 有界线性算子空间的性质。
3. 算子的逆,逆算子存在、连续的条件;利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。
4. Hahn-Banach定理;扩张定理的几种表现形式,如Banach扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。
5. Hahn-Banach定理的一些推论,体现的不同侧面的Hahn-Banach定理的具体表现形式;Hahn-Banach定理的几何形式。Hahn-Banach定理在理论及实际上的应用。
6. 分离定理,及其与Hahn-Banach定理之间的关系。
7. Baire纲定理;第一纲集、第二纲集的定义与分类。
8. 一致有界原理(共鸣定理);开映射定理;Banach逆算子定理;闭图形定理以及它们的应用。
9. 对偶空间的定义,几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式,如
等。
10. 二次对偶、典型映射、自反空间的定义;有限维赋范线性空间、、Hilbert空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。
11. Banach共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。
12. 算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。
(四)有界线性算子谱论
1. 有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。
2. 掌握谱半径公式,应用公式解决问题。
3. 射影算子的定义;有界线性算子的不变子空间与约化子空间;F.Riesz空间分解定理。
4. 紧算子的定义及其性质;紧算子的实例;紧算子与理想的关系。
5. Riesz-Schauder理论:F.Riesz定理;两择一定理;Fredholm交替定理等定理内容与应用。
6. 有界自伴算子的基本性质;紧自伴算子的定义与性质;酉算子的定义与性质。
7. 有界自伴算子的谱测度,谱分解定理与函数演算。
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