友情提示:本站提供全国400多所高等院校招收硕士、博士研究生入学考试历年考研真题、考博真题、答案,部分学校更新至2012年,2013年;均提供收费下载。 下载流程: 考研真题 点击“考研试卷””下载; 考博真题 点击“考博试卷库” 下载
2009 年中国科大数学分析考研试题的解答 一 、1 解 因为 (1 2 ) 1 5 5 ( ) 3 ( ) 23 2 3 3 1 ( ) 3 n n n n n n i , 1 5 3 ( ) 3 n n 收敛, 所以 1 (1 2 ) 3 2 n n n n i 绝对收敛。 2 证明 必要性 设 ( )f x 在 I 上一致连续, 对 0, 0 ,当 , ,x x I x x 时,有 ( ) ( )f x f x , 设{ }n x I 是 Cauchy 序列,则对此 0 , * N N ,当 ,n m N 时,有 n m x x , 从而有 ( ) ( )n m f x f x ,所以有{ ( )}n f x 是 Cauchy 序列; 充分性 用反证法,假若 ( )f x 在 I 上非一致连续,则 0 0 , 1 0n n , ,n n x y I , 虽然 1 n n x y n ,但 0 ( ) ( )n n f x f y , ( 1, 2,...)n 注意到 I 为有限区间, n x I ( 1, 2,...)n ,因此{ }n x 中存在收敛的子列{ }kn x , 因 0k kn n x y ,故{ }kn y 亦收敛,且 lim limk kn n k k x y , 从而穿插之后,序列 1 1 2 2 , , , ,..., , ,...k kn n n n n n x y x y x y 亦收敛,为 Cauchy 序列,但其像序列 1 1 2 2 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , . . . , ( ) , ( ) , . . .k kn n n n n n f x f y f x f y f x f y 恒有 0 ( ) ( )k kn n f x f y ,不是 Cauchy 序列,与一致条件矛盾,所以假设不成立,故有 ( )f x 在 I 上一致连续,命题得证。 注:当 I 为无限区间时,充分性不再成立,例如 2 ( )f x x 把 ( , )I 上的任一 Cauchy 序列{ }n x ,映成 Cauchy 序{ ( )}n f x ,但 2 ( )f x x 在( , ) 上不一致连续。
免责声明:本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除,另:本文仅代表作者个人观点,与本网站无关。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。
|