郑州大学考研高等代数2009年考研真题考研试题

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高等代数
1 （ 10 分）设 1 2
, , n
a a a 是互不相同的整数，求证多项式
      1 2
1n
f x x a x a x a    
在整系数多项式环中不可约。
2（10 分）设   3
f x x px q   ，求  f x 有重根的条件。
3 （10 分）记
 
2 1 2 3
2 2 2 1 2 2 2 3
3 3 3 2 4 5 3 5
4 4 3 5 7 4 3
x x x x
x x x x
f x
x x x x
x x x x
   
   

   
  
求   0f x  的根。
4（10 分）（1）设    1, 2, 3 , 1, 1 2 1 3   ， T
A   。求 n
A ；
（2）求 n
A ，其中
1 2 3
2 4 6
3 6 9
A
 
 

 
 
 
。
5（15 分）设 A

是n 阶方阵A 的伴随矩阵。证明：当  R A n 时，  R A n

 ；
当   1R A n  时，   1R A

 ；当   1R A n  时，   0R A

 。
6（10 分）设A 为n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 0
k
A x  有解向量
 且 1
0
k
A 

 。证明：向量组 1
, , ,
k
A A  

 线性无关.
7(10 分)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用
该极大线性无关组表示：
       1 2 3 4
1, 1, 2, 3 , 0, 2, 5, 8 , 2, 2, 0, 1 , 1, 7, 1, 2          
。
8（10 分）若下面线性方程组有解，常数应满足什么条件？

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