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310 数学分析 一.求下列极限(18 分): (1) n nnn n 21 lim (2) )1(lim 1 n n an )0( a (3)已知 )(xf 满足 0 )(3sin lim 30 x xxfx x ,求: 20 )(3 lim x xf x 。 二.证明下列结论(18 分): (1)设定义在实数 R 上的函数 )(xf 在 1,0x 两点连续,且在任何 Rx 有 )()( 2 xfxf 。证明: )(xf 为常函数。 (2)设函数 )(xf 在 ),( 上二次连续可微,且满足 Mxf |)(| ( M 为 正常数)。证明存在 ),(0 x ,使得 0)(" 0 xf 。 三.证明下列不等式(22 分): (1)证明不等式: 2 ln21 xx , )0( x (2)设 )(xf 和 )(xg 在 ],[ ba 上可积,证明不等式: b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222 。 四.(22 分) (1)设 )(xf 在 ]1,0[ 上可积,且满足: 1 0 )(2)( dxxfxfx , 求 1 0 )( dxxf 的值。 (2)设 dt t t xf x 1 )1ln( )( )0( x ,证明: 2 )(ln 2 1 ) 1 ()( x x fxf 。
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