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青 岛 科 技 大 学
二 OO 七年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
注意事项：1．本试卷共 8 道大题（共计 8 个小题），满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上
或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一．（20 分） 设 ( )f x 映[ , ]a b 为自己且
| ( ) ( ) | | |f x f y x y ；
任取 1
[ , ]x a b ， 令
1
1
[ ( )]
2
n n n
x x f x
求证{ }n
x 有极限 *
x 且 *
x 满足 * *
( )f x x 。
二．（20 分）
1
( )f x
x
在 (0,1) 上是否一致连续？证明你的结论。
三．（20 分） 设 ( ) [ , ]f x C a b 且 ( ) ( 0 )f x A x ，则对 0b a 有
( )
lim ln
b
n
n
a
n
f x b
dx A
x a
四． （20 分） 设 { } (0,1)( 1, 2, )n
x n 且满足 ( )i j
x x i j ，讨论
1
sgn( )
( )
2
n
n
n
x x
f x
在 (0,1) 的连续性，其中
1, 0
sgn 0, 0
1, 0
x
x x
x
五． （20 分） 若 2
R 上的可微函数 ( , )f x y 满足
( , ) ( , ) 0x y
xf x y yf x y
则 ( , )f x y 恒为常数。
六． （20 分）证明
0
( )
2
x
F dx
x
在 (0, ) 上连续。
七． （15 分） 计算曲面积分
2 2 2 3 / 2
( )S
xdydz ydzdx zdxdy
I
ax by cz
其中 S 是球面
2 2 2
1x y z ，取外侧（ 0, 0, 0)a b c
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