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湖南师大 2002 年高等代数考研试题
一.(12 分)设多项式 ( ), ( )f x g x 互素,证明:
(1)( ( ) ( ), ( ) ( )) 1f x g x f x g x ;
(2) 2 2
( ( ) ( ), ( ) ( )) 1f x g x f x g x
二.(8 分) ( )f x 为整系数多项式,且 (1) 1f ,证明 (3) 0f .
三.(10 分)计算行列式
0 1 2
1 0 3
1 2 0
1 2 3 0
n
n
D n
.
四.(10 分)若矩阵 A,B.C=AB 满足:秩(B)=秩(C),证明线性方程组 BX=O 与 CX=O 同解.
五.(8 分)对于 n 阶方阵 A,B,C,D,若 D 可逆,是否
A B
C O
与
AD BD
C O
的秩一定相等?若是,
请证明;否则,举出反例.
六.(12 分)证明二次型
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
( , , , ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
是半正定的,并把 1 2 3 4
( , , , )f x x x x 化为标准型.
七.(8 分)设 3 阶方阵 A 满足
2
,A O 1 2 3
, , 是线性空间 V 的一组基,如果
1 2 3 1 2 3
( , , ) , , ,A 证明 1 2 3
( , , )L 的维数 1 .
八.(12 分)设 V 的一个线性变换 A 满足 2
2A A ,证明:
(1)A 的核
1
(0) {2 | }A A V
;
(2)A 的值域 AV 中的任一非零向量是特征值 2 的特征向量;
(3)
1
(0)V AV A
.
九.(10 分)若 A 为实对称矩阵,则 A 的特征值一定是实数.
十.(10 分)对于 n 阶方阵 A,B 证明: ( , )A A其中 表示 的转置 其余类推
(1)若 A∽B,则 A ∽ B (A∽B 表示 A 与 B 相似)
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