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哈尔滨工业大学
二○○五年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 数学分析
报考专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论
考试科目代码：[312 ]
考生注意：答案务必写在答题纸上，并标明题号。答在试题上无效。
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
分数 30 15 15 15 15 15 15 15 15 150
一、 设 ( )f x 在[0,1] 上连续且单调增加，按提示的思路用五种不同方
法证明:
1 1
0 0
1
( ) ( )
2
xf x dx f x dx≥∫ ∫ .
思路一: 利用定积分的定义;
思路二: 利用函数与其导函数的关系;
思路三: 利用积分第一中值定理;
思路四: 利用积分第二中值定理;
思路五: 利用积分的保序性;
思路六: 利用微分中值定理;
思路七: 利用其它方法。
二、 设函数 )(xf 在实数集R 上可导,满足: 存在常数 0M > 使
2005
| ( ) |
| |
M
f x
x
≤ ,
2004
(| '( ) ( ) 2005 ( ) |) 1x xf x xf x f x+ + ≤ , 求证:
2005
| ( ) | 1x f x ≤ 。
三、 设 0 11, (1 ) 1 0n nx x x n+= + = ≥对 ，证明 lim n
n
x
→∞
存在并求其极限
值。
四、 设 )(xf 在[ , ]a b 上 Riemann 可积, 记
2
( ) max ( )
t
aa t x
g x t f s ds
≤ ≤
= ∫ ,
a x b≤ ≤ ，求证 ( )g x 在[ , ]a b 上连续。
五、 设 ( )n
nx f x 在 ( , )−∞ +∞ 上一致连续, 1,2, ,n = L 且{ ( )}n
nx f x 在
( , )−∞ +∞ 上一致收敛于 )(xf ,证明 )(xf 在 ( , )−∞ +∞ 上一致连续 。
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