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48 哈尔滨工业大学 二○○四年硕士研究生入学考试试题 考试科目: 数学分析 报考专业:基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目代码:[312 ] 考生注意:答案务必写在答题纸上,并标明题号。答在试题上无效。 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分数 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 150 以下共十题,每题 15 分 一、设 lim , limn n n n x a y b →+∞ →+∞ = = 。求证: lim max{ , } max{ , }n n n x y a b →+∞ = 。 二、设函数 ( )f x 在[ , ]a b 上连续,并且 [ , ]x a b∀ ∈ , [ , ]y a b∃ ∈ 使 1 | ( ) | | ( ) | 2 f y f x≤ 。求证: [ , ]a bξ∃ ∈ 使 ( ) 0f ξ = 。 三、求证: 3 y x= 在[0, )+∞ 上一致连续。 四、设 ( )f x 在 ( , )a b 内可导且 lim ( ) x a f x+ → ′ 存在。求证:lim ( ) x a f x+ → 存 在且可以对 ( )f x 在 a 点补充定义使 ( )f a′ 存在。 五、设 ( )f x 有二阶连续的导数,满足关系式: 2 ( ) ( ( ))f x f x x′′ ′+ = 且 (0) 0f ′ = 。论证 0 是否为 ( )f x 的极值点或拐点。 六、设 ( )f x 在[ , ]a b 上无界,求证 [ , ]c a b∃ ∈ 使 0δ∀ > ,函数 ( )f x 在 ( , ) [ , ]c c a bδ δ− + I 上无界。 七、计算 1 2004 22 1 2 2 arcsin ( ln( 1 ) ) 1 x x x x x dx x− + + + − ∫ 。 八、对序列{ }ka ,{ }kb 定义 1k k kb b b+Δ = − 。求证:如果 1 k k a ∞ = ∑ 与 1 | |k k b ∞ = Δ∑ 都收敛,则 1 k k k a b ∞ = ∑ 收敛。 第 1 页 共 2 页 购买历年考研、考博真题,到考研秘籍网|http://www.kaoyanmiji.com 查询清单、下单、和下载电子版真题 购买历年考研、考博真题,到考研秘籍网|http://www.kaoyanmiji.com 查询清单、下单、和下载电子版真题
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