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桂林电子科技大学 2012 年硕士研究生入学考试试卷
考试科目代码： 811 考试科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、证明题（每小题 8 分，共 24 分）
(1) 写出 lim ( )
x
f x
不存在的柯西准则的否定叙述，并证明 lim cos
x
x
不存在.
(2) 设 ( )f x 在[0, ) 可导，且 2
0 ( ) ,
1
x
f x
x
证明：存在 0 使得：
2
2 2
1
'( ) .
(1 )
f
(3) 设 ( )f x 在区间[ , ]a b 上有二阶导数，且 '( ) '( ) 0f a f b . 求证：存在 ( , )c a b ，使得：
2
4
''( ) ( ) ( ) .
( )
f c f b f a
b a
二、计算下列极限（每小题 8 分，共 24 分）.
(1)
2
lim ( 2012 )
x
x x x
.
(2)
2
sin
0
lim (1 2 ) x
x
x
.
(3) 3
0
arcsin
lim
sinx
x x
x
三、 计算下列积分（每小题 8 分，共 16 分）.
(1) 2 2
1
d
sin cos
x
x x
.
(2)
1
d
1
x
x
e
.
四、（10 分）叙述有界函数 ( )f x 在闭区间[ , ]a b 上黎曼可积的定义, 并举反例，即闭区间上的有界函数
不可积.
五、（10 分）求由摆线 ( sin ), (1 cos )x a t t y a t 的一拱(0 2 )t 与横轴所围成图形的面积.
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