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北 京 科 技 大 学
2011 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）
适用专业： 数学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1．(15 分)设函数 ( )f x 在闭区间[0,1] 上连续, 在开区间(0,1) 内可微, 且 (0) (1) 0,f f
1
( ) 1,
2
f 证明: (1) 存在
1
,1 ,
2
使得 ( ) ;f (2) 存在 (0, ), 使得
( ) ( ) 1.f f
2. (15 分)求函数
2
2
2
1
( ) ( ) e d
x
t
f x x t t
的单调区间与极值.
3. (15 分)设 ( )f x 在[ , ]a b 上二次连续可微, 且 0
2
a b
f
, 证明:
3
( )
( ) d ,
24
b
a
M b a
f x x
其中 sup | ( ) |
a x b
M f x
.
4．(15 分)求积分
5 sin 2 cos
d .
sin 3 cos
x x
x
x x
5. (15 分) 已知
0,0
0,
sin
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf , 试讨论函数 ( , )f x y 在原点(0,0)处
是否连续？
6. (15 分) 求空间一点( )0, 0 0
,x y z Ax By Cz D+ + + =到 平 面 0 的最短距离.
7．(15 分)证明: 反常积分
2
0
e d
x y
y
,在[ , ]( 0)a b a 上一致收敛.
8. (15 分 ) 计 算
S
dxdyzdzdxydydzx
222
, 其 中 S 是 球 面
2
( )x a-
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