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概率论与数理统计
1、(10 分) 设随机变量Y 服从均值为 ，方差为
2
的正态分布，证明：
(| |) (( ) / )E Y c Q c
其中 ( ) 2[ ( ) ( )]Q t t t t t ， ( )t 是标准正态分布的密度函数， ( )t 是相应分布函数。
2、(8 分) 假设某大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 ( )N t 服从参数为 t 的泊松
分布，求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布 。
3、(12 分) 设 1 2
, , , n
X X X 是一个取自具有未知均值 和未知方差
2
的正态母体的样本，
试给出
2
的显著性水平为 (1 ) 的置信区间。
4、 (12 分) 自动生产线上加工的螺丝的长度（单位：cm） X 服从正态分布 ( ,1)N ，规定
长度小于10cm 或者大于12cm 的为不合格品。每件产品的成本为 10 元，长度大于 12cm 的
可再加工成合格品，尚需要加工费 5 元。全部合格品在市场上销售，每件合格品的售价为
20 元。问：螺丝的平均长度 取多少时，销售一个螺丝的平均利润会最大？
5、(12 分) 设随机变量 X 服从参数 1 的指数分布，又随机变量：
1 2
2 ,
2
X X X
Y e X Y e
试求 1 2
Y Y与 的协方差矩阵的特征值之和。
6、(10 分) 假设随机变量 X 具有密度函数 p ，且 p 关于 c 对称，即 ( ) ( )p x c p x c 对
所有的 x 都成立。证明： c 是 X 的中位数。
7、(16 分) 在一个医疗实验中，治疗效果是在控制反应为 x 的个体的反应上加上一个量
( )x 。因此，接受治疗的个体的反应为 ( )y x x 。这里 ( )x x 是单调增加的，假设
是由控制和治疗的总体的分布所唯一确定的。设有控制和治疗反应的独立样本
1 2 1
, , , n
X X X 和 1 2 2
, , , n
Y Y Y ， 其 中
2
1 1
( , ),i
X N 1
1 , 2 ,i n ，
2
2 2
( , ),i
Y N
2
1, 2,i n 。
1）证明：线性模型成立的充要条件是
2 2
1 2
；
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