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2011 年湖南农业大学硕士招生自命题科目试题
科目名称及代码： 高等代数 820
适 用 专 业：生物数学
考生注意事项：①所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上一律无效。
②按试题顺序答题，在答题纸上标明题目序号。
1、（15 分）令 3 3
( ) ( )f x xg x 可以被 2
1x x 整除，证明： (1) (1) 0.f g
2、（15 分）证明：
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n
n n nn
a t a t a t
a t a t a td
dt
a t a a
11 1 1
21 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
j n
n
j n
j
n nj nn
d
a t a t a t
dt
d
a t a t a t
dt
d
a t a t a t
dt
.
3、（20 分）其次线性方程组
1
0,
n
ij j
j
a x
( 1, 2, 1)i n 的系数矩阵 ( 1)
( )ij n n
A a
，设 i
M
是从 A 中划去第i 列后剩下的 1n 阶子矩阵的行列式，证明：
（1）
1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M
方程组的解.
（2）若 A 的秩为 1n ，则
1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M
是方程组的一个基础解系.
4、（20 分）设 A 是 n n 矩阵（ 2n ），那么，秩（ *
A ）=
n, R (A ) n,
1 R (A ) n 1,
0 R (A ) n 1.
5 、（ 15 分 ） 设 A , B , C , D都 是 n 阶 矩 阵 ， 其 中 ， detA 0, AC=CA ， 证 明 ：
A B
det det AD CB .
C D
6、（15 分）证明
a b c
W = 0 a b ; a, b, c R
0 0 a
是线性空间 3
M (R ) 的子空间，并求 W 的一
组基及维数.
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