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2007 年研究生入学考试试题
考试科目：量子力学(A) 报考学科、专业：凝聚态物理、理论物理
请注意:全部答案必须写在答题纸上，否则不给分。
1、氢原子处在基态 0/
3
0
1
),,(
ar
e
a
r
，求：
(1) r 的平均值； (2) 势能(
r
e
2
)的平均值；
(3) 最可几半径。 （已知：
0 1
!
n
axn
a
n
dxex ） （25 分）
2、设一粒子处下列势场中，请指出哪些力学量（ PLLLLppppH zyxzyx
宇称,,,,,,,,,
22
）
是守恒量:：(1) 自由粒子势场，(2) 中心势场。 （25 分）
3、在一维无限深势阱（阱宽为 0－a）中，粒子处在第 n 个本征态：
axx
axx
a
n
axn
,0,0
;0,sin
2
)(
现受到一个微扰 H 为：
ax
a
x
axx
H
0sin
,00
其中 为小量，试用微扰方法计算能量的一级修正。（25 分）
（已知公式： )sin()sin(sin2 con ）
4、设 ˆ
2
ˆ
S 是电子自旋算符，
2
1
x 是自旋 Z
Sˆ 分量的本征函数。
（1）写出三个泡利矩阵； （2）求证：
2
1
2
1
2
ˆ
xxS x
，
2
1
2
1
2
ˆ
x
i
xS y
；
（3）在
2
1
x 态下，求 x
S 的平均值。（25 分）
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