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2014 年硕士研究生招生入学考试试题 A
科目代码及名称: 623 量子力学 适用专业：理论物理、凝聚态物理
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1、 判断正误，并做简要分析(每题 5 分，共 25 分)
(1) 两个不同的定态波函数叠加后还是定态波函数。
(2)一个力学量处在其本征态中时具有确定的值。
(3) 线性谐振子和一维无限深势阱的粒子能级分立，且能级间距都相等。
(4) 算符 ˆx 和 ˆ z
p 可以有共同的本征函数，在某些状态下可以同时确定。
(5) 两个玻色子和费米子都可以分别处于同一个量子态。
2、 填空题(每题 5 分，共 25 分)
(1) 微观粒子具有波粒二性，即微观粒子既有粒子性又有波动，其中粒子性是指微观粒
子具有 等属性，波动性是指粒子具有 等属性。
(2) 某一粒子处于 ( , )x t 所描述的量子态，根据波函数的统计解释，
2
( )x 的物理意
义为 ;
2
( , )x t 的物理意义为 .
(3) 设一力学量算符 ˆF 满足的本征方程为 ˆ ( ) ( )n n n
F x F x ， 0
F 、 1
F 、 2
F ......为该算符的
本征值。则粒子处于归一化波函数 1 1 3 3
(x)=c ( ) c ( )x x （c1 和 c3 为常量）态时，
测量该力学量，所得的可能值有 ，相应的概率分别为 。
(4) 以力学量坐标 ˆx 和 ˆ x
p 为例，它们满足的对易关系为____________，可知两个力学量
的测不准关系为__________________。
(5) 设体系的自旋量子数为 3
2
S ，则自旋角动量平方算符 2ˆS 的本征值为_________，
自旋角动量 z 分量算符 ˆ
z
S 的本征值为___________________（可能有多个）。
3、 简答题(每题 10 分，共 20 分)
(1) 简述量子力学中的基本假设（至少 3 个）。
(2) 简述厄米算符的定义及主要特点，并简要说明力学量用算符表示的含义。
4、 证明题（每题 10 分，共 20 分）
（1）已知角动量分量算符 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x z y y x z z y x
L yP zP L zP xP L xP yP ，基于坐标和动量算符
的对易关系 ˆ ˆ,x p i z ,证明 ˆ ˆ ˆ,x y z
L L i L
。
（2）若算符 ˆˆF G和 具有共同的本征函数完全系，则 ˆˆF G和 必对易。
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