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河南大学 2009 年硕士研究生招生入学考试数学分析
一 、（ 20 ） 设 ( )f x 为 ¡ 上 的 连 线 函 数 ， 对 所 有 的 ( ), 0x f x > ， 且
( ) ( )lim lim 0
x x
f x f x
→∞ →−∞
= = .证明： ( )f x 必能取到最大值.
二、(20)设 1 1
1 1
5, , 1,2,
2
n n
n
a a a n
a
+
⎛ ⎞
= = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
L ,证明:极限 lim n
n
a
→∞
存在,并求之.
三、(20)证明:当0 x π≤ ≤ 时,
2 2
2
1
cos
4 2 6n
nx x x
n
π π∞
=
= − +∑ .
四、(20)证明:
21
cos
20
1
lim
2
t
x
x
e dt
x e
−
→
=
∫ .
五、(20)设 ( )f x 在[ )0,+∞ 上连续，且 ( )f x 当 x → +∞ 时，有渐进线 y ax b= + .证
明: ( )f x 在[ )0,+∞ 上一致连续.
六、(20)计算
2 2 2
S
x dydz y dzdx z dxdy+ +∫∫Ò ,其中 S 为单位球面
2 2 2
1x y z+ + = 的外
侧.
七、(15)设 ( )f x 在[ ],a b 内二阶可导, ( ) 0f b = ,令 ( ) ( ) ( )
2
g x x a f x= − .证明:方程
( ) 0n
g x = 在( ),a b 内有解.
八、(15)设 ( )f x 在[ ],a b 上具有有界导数, ( ) ( ) 0f a f b= = .证明:
[ ]
( )
( )
( )2
,
4
sup
b
ax a b
f x f x dx
b a∈
′ ≥
−
∫ .
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