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河南大学 2009 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一、（15）设 , ,A B C 分别为 , ,m n n s s t× × × 的三个矩阵，且 0ABC = ，其 A 中的秩为 n ，C 的秩为 s .
证明: 0B = .
二、（15）若 4 阶方阵 A 的每一个行向量、每一个列向量分别均由两个 0 和两个1组成，那么 A 的行列
式等于零.
三、(20)设 A 为 n 阶实对称矩阵,证明: { }2
0V X X A X′= = 是 n 维欧氏空间
n
R 的一个子空间.
四、(20)若以 ( )f x 表示实系数多项式,证明:
( ) ( ) ( )( ){ }1 0,W f x f f x n= = ∂ ≤
是实数域上的一个线性空间,并求出它的一组基.
五、(20)设 ,A B 是两个幂等矩阵,即
2 2
,A A B B= = ,证明:若秩( )A =秩( )B ,则 A 与 B 相似.
六、(20)设 ,A B 是两个实对称矩阵,且 A 正定,证明:复方阵 A iB+ 是可逆阵.
七、(20)设 ,A B 是数域 P 上的两个不同的 n 阶对称矩阵,且 ( )r B A r− = ,这里 ( )r A 表示矩阵 A 的秩.
证 明 : 存 在 1r − 个 n 阶 对 称 矩 阵 1 2 1, , , rC C C −L , 使
( ) ( ) ( )1 1 1 , 1,2, , 1i i rr C A r C C r B C i r+ −− = − = − = −L .
八、(20)设 ,P Q 是数域 F 上任意两个 n 阶可逆矩阵, nM 表示数域 F 上全体 ( )2n ≥ 阶方阵的集合,在
nM 上定义变换 ( ),P Qσ
( )( ), , nP Q X PXQ X Mσ = ∀ ∈
若将 nM 看作数域 F 上的线性空间,则 ( ),P Qσ 是此线性空间的一个线性变换,进一步令
1
2
Q
n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
O
试求线性变换 ( )1
,Q Qσ −
的所有特征值和特征向量.
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