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河南大学 2006 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一、（20）证明:如果( ) ( ) ( )2 3 3
1 21x x f x xf x+ + + ,则( ) ( ) ( ) ( )1 21 , 1x f x x f x− − .
二、（20）计算 n 阶行列式 D ,其中
1 2
1 2
1
n
n
n
x m x x
x x m x
D
x x m
−
−
=
−
L
L
M M M
L L
三、（20）已知齐次线性方程组( ) ( )1 , 2
( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3 2
1 2 3
1 2 3
2 3 0
0
1 2 3 5 0, 2
2 3 0
2 0
x x x
x bx cx
x x x
x b x x
x x ax
+ + =⎧
+ + =⎧⎪ ⎪
+ + =⎨ ⎨
+ + =⎪⎩⎪ + + =⎩
同解,试确定 , ,a b c 的值.
四、（20）设 , n n
A B P ×
∈ ,且秩( )A + 秩( )B n≤ ,证明:存在 n 阶可逆矩阵 M ,使 0AMB = .
五、（20）设
2 2
V P ×
= ,定义V 上的变换ϕ 如下: ( ) ,
2
A A
A A Vϕ
′+
= ∀ ∈ .
(1)证明ϕ 是V 上的线性变换;
(2)求 ( )1
, 0Vϕ ϕ−
;
(3)证明 ( )1
0V Vϕ ϕ−
= ⊕ ;
(4)求ϕ 的最小多项式;
(5)求ϕ 的初等因子.
六、（20）已知 1 2, , , nα α αL 是V 的一组基, A 为 n s× 矩阵,设( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n n Aβ β β α α α=L L ,证
明:秩( )1 2, , , nβ β β =L 秩( )A .
七、（20）设 1 2 3, ,α α α 是欧氏空间V 的基, 1 2 3, ,α α α 的度量矩阵为
2 1 0
1 3 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,令
( )1 2 2 3,W L α α α α= + +
(1)求W 的标准正交基;
(2)求W
⊥
的维数和一组基.
八、（10）设 ,A B 均为 n 阶实对称矩阵,且 A 正定,若 AB 的特征根全大于零,证明: B 正定.
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