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1 华侨大学 2012 年硕士研究生入学考试专业课试卷 (答案必须写在答题纸上) 招生专业 基 础 数 学 科目名称 高等代数(A) 科目代码 825 一、(本题满分 15 分) 设多项式 4 3 2 ( ) 2 4 2f x x x x x= + − − − , 4 3 2 ( ) 2 2g x x x x x= + − − − .求 ( )f x 与 ( )g x 的 最大公因式( ( ), ( ))f x g x . 二、(本题满分 15 分) 设行列式 3 5 2 1 1 1 0 5 2 3 1 3 2 4 1 3 D − = − − − − , D 的第i 行第 j 列元素的余子式和代数余子式分别 记为 ijM 和 ijA .求 (1) 11 12 145A A A+ + ;(2) 11 12 13 14M M M M+ + + . 三、(本题满分 20 分) 设矩阵 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,求正交矩阵 P 和对角矩阵 B ,使得 1 P AP B− = . 四、(本题满分 20 分) 证明:秩为 r 的矩阵总可以表成 r 个秩为1的矩阵之和. 五、(本题满分 20 分) 设 ,A B 都是 m n× 矩阵.证明:齐次线性方程组 0AX = 与 0BX = 同解的充分必要条件 是存在 m 阶可逆阵 P 使得 B PA= . 共 2 页 第 1 页
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