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一、考试说明
1. 参考教材:
《高等数学》第五版(上、下册),同济大学应用数学系主编,高等教育出版社
2. 试卷结构及比例
题型比例:
填空题与选择题 约40%
解答题(包括证明) 约60%
内容比例:
函数、极限、连续 约20%
一元函数的微积分学 约35%
多元函数的微积分学 约15%
常微分方程 约15%
幂级数 约15%
二、考试内容
第一单元 函数、极限、连续
函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;反函数、复合函数、隐函数和分段函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数简单的应用问题和函数关系的建立;数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左右极限;无穷小;无穷大;无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限:
lim(sinx/x)=1,lim(1+1/x)x=e
x→0 x→∞
函数连续的概念:函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)
第二单元 一元函数微分学
导数和微分的概念;导数的几何意义和物理意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;基本初等函数的导数;导数和微分的四则运算;反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法;高阶导数的概念;某些简单函数的n阶导数;一阶微分形式的不变性;微分在近似计算中的应用;Rolle定理,Lagronge中值定理,Cauchy中值定理,Taylor定理,L’Hospital法则.
函数极值及其求法,函数增减性和函数图形的凹凸性的判定,函数图形的拐点及其求法,渐近线,描绘函数图形,函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
第三单元 一元函数积分学
原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质,基本积分公式,定积分的概念和性质,积分中值定理,变上限定积分及其导数,NewTon-Leibniz公式,不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法,有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分,广义积分的概念及计算,定积分的应用,定积分的近似计算法。
第四单元 常微分方程
常微分方程的概念,微分方程的解、通解、初始条件和特解;变量可分离方程,一阶线性微分方程,齐次方程,Bernoulli方程,可降阶的高阶微分方程(y’’=f(x),y’’=f(x,y’),y”=f(y,y”));线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。
第五单元 多元函数微分学
向量的概念, 曲面方程的概念,平面方程、直线方程及其求法,点到点、直线、平面的距离,母线平行于坐标轴的柱面。
多元函数的概念,二元函数的极限和连续的概念,有界闭域上连续函数的性质,偏导数;全微分的概念,复合函数,隐函数的求导法,二阶偏导数,多元函数极值的概念,多元函数极值的必要条件,极值的求法。
第六单元 多元函数积分学
二重积分的概念、重积分的性质,二重积分(直角坐标,极坐标)的计算,两类曲线积分的概念,重积分的几何应用。
第七单元 幂级数
常数项级数的收敛与发散的概念,收敛幂级数的和的概念,收敛的基本性质与收敛的必要条件;几何级数与P级数;正项级数的比较审敛法,比值审敛法,根值审敛法,交错级数的Leibniz定理;绝对收敛与条件收敛,函数项级数的收敛域与和函数的概念;幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域,幂级数在其收敛区间内的基本性质,简单幂级数的和函数的求法。
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