级数一章看似简单,但实际需要注意的地方也比较的多,特别如∑的下标是从0开始还是从1开始?X∑Un中的X在求和函数时是放在积分符号之内呢还是放在其之外?等等,象这种细微的差别就有可能使您的求解结果相差十万八千里。以下是一些关于本人在求解级数试题时所作的技巧和注意点总结,看一下您是否曾经也犯过类似的错误。
1)∑(0,∞)sin(aπ)=∑(0,∞)(-1)^nsin(aπ-nπ)
2)在运用莱布尼兹判敛法则时的第二个条件可以运用单调性判断;即f'(x)是否大于0?
3)在解展开幂级数或求幂级数的和函数时,收敛域的求解勿忘。
4)在某点处展开幂级数除了写出收敛域外还要去除该点。
5)在解幂级数展开时应注意,∑的下标是从0开始还是从1开始,在具有积分时还需看f(0)是否为0。即∫f'(x)dx+f(0)=f(x).这一点作了新的修订
6)在求幂级数和函数时,积分,导数既可对∑内的X起作用,也可以对∑外的X起作用,但需要一一对应,即对被处理项用一次积分同时必须对其用一次导数;反之也然。
7)求得和函数表达式时,还要看属于收敛域,但并不属于定义域的点,这些点需要单独列出来,求得和函数的值。
8)当∑(0,∞)Un中的U0=0时,∑(0,∞)Un=∑(1,∞)Un,而且在套用积分时必须写成后者形式,以免出现∫(0,x)0dx=1的错误情况。注意:有的下表甚至从2开始。如陈《复习指南》02版例8,31,(2)
9)数项级数求和的四类方法:简单转换法,拆项相消法,递推法,阿尔贝法。其中阿尔贝法最重要。
10)求解傅立叶级数时的四点总结
a、对于一个级数既可以奇开拓,又可以偶开拓,按题目的要求确定求正弦级数还是余弦级数
b、开拓后的级数按平常级数展开,并注意写上定义域
c、定义域的端点的傅立叶级数是没有意义的,如要求值,则需用狄莱克利定理求解
d、在求an或bn时出现[1-(-1)^n]这样的项时,一般情况下使n=2k,n=2k+1分开讨论,使结果更简洁
因nanxingstar网友的要求,以下是如何求级数敛散性的总结
如何求级数的敛散性(拿到一个敛散性判断问题时怎样入手)
首先判断级数的类型
1,如果级数为正项级数:则先看当n趋于无穷时Un是否等于0,不为0则级数发散,等于0则用以下三种方法判断
1)比较法
2)比值法
3)根值法
技巧:
1)如果级数项中含有阶乘的形式一般用比值法
2)如果级数项中含有指数项P^n则一般用根值法
3)既有阶乘项又有指数项则一般用比值法
4)其它的一般用比较法
a、两个定理
差形式和极限形式
b、两个推论
数乘差形式和P-级数形式
2,如果级数是交错级数
则运用莱布尼兹定理
技巧:
在判断第二个条件时一般用单调性判断
3,如果是任意项级数
则转化成正项级数,运用任意项级数和正项级数的关系试判断(定理七)
注意点:
1)比值法,根值法是充分但不必要条件
2)涉及证明一般只能用比较法
3)但在判断级数发散时,比值法,根值法同样适用