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2018 年北京科技大学招收硕士研究生考研大纲
《高等代数 I》考研大纲
一、课程教学基本要求
1．课程重点：
高等代数主要分为以下部分:矩阵,线性空间，线性变换,多项式理论，线性方程组理论，
行列式.
矩阵理论的重点在矩阵的运算、分块矩阵.
线性空间理论的重点在线性空间的概念、向量的线性关系、基、维数、坐标以及线性空
间的直和分解.
线性变换的重点是线性变换的像、核求法以及不变子空间的判定.
多项式理论的重点在多项式的整除性，及多项式的因式分解理论.
线性方程组理论的重点在线性方程组的解的结构和求解的算法.
行列式的重点在行列式的计算.欧氏空间、二次型等内容上.
矩阵与行列式是研究线性关系的重要工具，也是课程的重点内容之一，矩阵的方法贯穿
课程的始终.
2．课程难点：
本课程的难点很多，从知识上讲，线性空间的概念、向量的线性相关性、线性映射，多
项式在有理数域的分解、方程组解的判定、二次型正定的判定等等；从方法上讲，高等代数
课程解决问题的方法比较灵活，技巧性比较强，是不易学习和掌握的.
3．能力培养要求：
要求学生熟练掌握线性空间和线性变换的基本理论，熟练掌握矩阵的初等变换、行列式
这种重要的数学工具，掌握多项式的因式分解理论、向量组线性相关及线性无关理论.初步
掌握线性代数的方法和技巧.
二、课程教学内容与学时
1．预备知识
熟悉基本的概念：集合及运算，等价关系，映射、数域；
2．多项式
2.1 多项式，带余除法，整除性
掌握带余除法，多项式的整除性.
2.2 最大公因式
了解公因式的概念，掌握最大公因式的定义、性质、算法.
2.3 因式分解
了解多项式的唯一分解定理，了解重因式及其判断方法、掌握不可约多项式及性质.
2.4 多项式的根
熟练掌握余式定理及其应用.
2.5 复系数、实系数多项式
掌握代数学基本定理，了解复系数、实系数多项式在相应数域中的分解形式，掌握根与
系数的关系定理.
2.6 整系数多项式
了解本原多项式的概念及 Gauss 引理，掌握 Eisenstein 判别法.
3．矩阵
3.1 矩阵的概念及运算
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了解矩阵的背景，熟练掌握矩阵的和、差、数乘、乘法、转置运算.
3.2 矩阵的初等变换
熟练掌握矩阵的初等变换，掌握初等方阵与初等变换的关系.
3.3 矩阵的相抵
了解掌握矩阵相抵的概念、相抵的标准形、矩阵的逆及其计算方法.
3.4 分块矩阵
了解分块矩阵的概念及矩阵的分块运算.
3.5 矩阵的秩
熟练掌握运用矩阵的秩的定义，以及秩的基本性质.
4. 线性空间
4.1 线性空间
掌握线性空间的概念及重要的线性空间实例.
4.2 向量的线性相关性
理解向量的线性相关、线性无关的概念，并能熟练掌握和使用线性相关性的重要结果.
4.3 基、维数、坐标、坐标变换
理解和掌握基、维数的概念，掌握坐标变换及过渡矩阵的计算.
4.4 线性子空间
了解构成线性子空间的条件.
4.5 子空间的和与交、直和
掌握子空间的和与交的运算，掌握直和的概念及直和的等价条件.
4.6 线性空间的同构
了解线性空间同构的概念，掌握线性空间由其维数决定的结论.
5.线性变换
5.1 线性映射
掌握线性映射的定义及矩阵表示，理解掌握线性映射的象与核的概念及相关结果.
5.2 线性映射的像与核
掌握线性映射的像与核的概念，以及与基和维数的关系.
5.3 线性变换
掌握线性变换的定义及矩阵表示，掌握线性变换的运算.
5.4 不变子空间
掌握不变子空间的定义及相关结论.
5.5 特征值与特征向量
掌握线性变换的特征值与特征向量的定义与性质，并可以根据线性变换的特点计算该变
换的特征值与特征向量，掌握矩阵对角化的条件.
6． 欧氏空间
6.1 内积
熟练掌握内积的定义及性质.
6.2 标准正交基
掌握度量矩阵、标准正交基的定义，以及正交化方法.
6.3 正交子空间
6.4 正交变换
了解正交变换的概念与意义.
6.5 对称变换
掌握对称变换的定义及相关结论.
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7． 二次型
7.1 二次型的定义
7.2 二次型的标准形
掌握惯性定理，了解和掌握在实数域、复数域中二次型的规范型.
7.3 正定二次型
掌握二次型的定性，及正定、半正定的充要条件.
8． 线性方程组
8.1 Gauss 消元法
熟练掌握 Gauss 消元法，了解线性方程组的解的形式.
8.2 线性方程组
熟练掌握线性方程组的解的结构及求解方法.
9． 行列式
9.1 行列式的定义
了解逆序的概念，掌握行列式的定义.
9.2 行列式的性质与计算
熟练掌握行列式的性质，掌握行列式按行列展开的方法，能够熟练计算行列式的值.
9.3 行列式理论的应用
掌握 Crame 法则，能够利用行列式解决以前各章出现的相关问题.
10． 相似标准形
10.1 特征值与特征向量的计算
熟练掌握特征值与特征向量的计算.
10.2 对称矩阵的标准形的计算
熟练计算对称矩阵的标准形
10.3 特征多项式与最小多项式
了解特征多项式与最小多项式的概念及性质，矩阵对角化的条件.
10.4 Jordan 标准形
掌握 Jordan 标准形的定义、推导、计算.
10.5 Jordan 标准形的又一推导
了解λ -矩阵、初等因子、不变因子的概念，了解利用λ -矩阵计算矩阵 Jordan 标准形的
方法.
三、教材与参考书
教材
1.申亚男、李为东编著，《高等代数》，机械工业出版社，2015 年 9 月第 1 版
2．北京大学几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》，高等教育出版社 1991，第 3 版
参考书
1. 许以超编，《线性代数与矩阵论》，高等教育出版社，1992 年，第 1 版
2. 屠伯埙, 徐诚浩, 王芬编，《高等代数》，上海科技出版社，1987 年，第 1 版
3. 丘维声编，《高等代数》，高等教育出版社，1996 年，第 1 版
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