2018年南京信息工程大学2008矩阵分析考博大纲博士研究生入学考试大纲

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南京信息工程大学博士研究生招生入学考试
《矩阵分析》考试大纲
考试科目代码：2008
考试科目名称：矩阵分析
第一章线性空间和线性映射
1、理解基变换与坐标变换；
2、掌握线性子空间交，和，直和，补的计算方法，及不变子空间的求法；
3、理解特征值与特征向量；
4、掌握矩阵的相似对角形的求解方法
第二章矩阵对角化与矩阵的 Jordan 标准形
1、理解矩阵对角化并能求取矩阵的标准形；
2、了解初等因子与相似条件；
3、掌握矩阵的 Jordan 标准形的求解方法
第三章内积空间，正规矩阵，Hermite 矩阵
1、熟悉内积空间，酉空间及酉变换和正交变换；
2、理解幂等矩阵的性质和正交投影原理；
3、掌握正规矩阵、Hermite 矩阵的求解方法；
4、理解 Hermitee 二次齐式、正定二次齐式、正定 Hermite 矩阵；
第四章矩阵分解
1、理解矩阵的满秩分解方法；
2、掌握矩阵的正交三角分解（UR，QR 分解）方法；
3、熟悉矩阵的奇异值分解方法；
4、了解矩阵的极分解方法、谱分解方法；
第五章向量与矩阵范数
1、熟悉向量范数、矩阵范数、向量/矩阵范数之间的不等式关系、诱导范数、
赋范线性空间的定义与性质；
2、熟悉矩阵序列，会应用矩阵序列的极限；
第六章矩阵函数
1、了解矩阵多项式的定义，会求解矩阵多项式最小多项式；
2、了解矩阵函数，掌握矩阵函数计算方法；
3、了解矩阵函数的幂级数表示；
4、熟悉矩阵指数函数与矩阵三角函数；
第七章函数矩阵与矩阵微分方程
1、了解函数矩阵的定义；
2、掌握函数矩阵对纯量的导数与积分；
3、掌握函数向量的线性相关性的证明；
4、熟悉矩阵微分方程的定义及求解方法；
第八章矩阵的广义逆
1、理解广义逆矩阵的定义；自反广义逆的定义；
2、掌握伪逆矩阵的求解方法；
有关说明与实施要求
1、考试目标的能力层次的表述
本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述：
较低要求——了解；
一般要求——理解、熟悉、会；
较高要求——掌握、应用。
一般来说，对概念、原理、理论知识等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等
词表述；对计算方法、应用方面，可用“会”、“应用”、“掌握”等词。
2、命题考试的若干规定
(1)本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的，根据本大纲规定
的各种比例(每种比例规定可有 3 分以内的浮动幅度，来组配试卷，适当掌握试
题的内容、覆盖面、能力层次和难易度)。
(2)各章考题所占分数大致如下：
第一章 10％
第二章 10％
第三章 15％
第四章 15％
第五章 15％
第六章 10％
第七章 15％
第八章 10％
(3)其难易度分为易、较易、较难、难四级，每份试卷中四种难易度，试题分数
比例一般为 2：3：3：2。
(4)试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“了解(知识”占 15%，
“理解(熟悉、能、会)”占 40%，“掌握(应用)”占 45%。
(5)试题主要题型为解答题和证明题等多种题型。
(6)考试方式为闭卷笔试。考试时间为 180 分钟，试题主要测验考生对本学科的
基础理论、基本知识和基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题
的能力。试题要有一定的区分度，难易程度要适当。一般应使本学科、专业本科
毕业的优秀考生能取得及格以上成绩。
（7）样题举例
矩阵的奇异值分解
解第一步计算，是将化为对角矩阵的正交矩阵，
，
，得，通过计算可得到属于 4 的
特征向量，属于 0 的特征向量，即
第二步计算，由于，得，故
第三步计算
将扩展为的一组标准正交基
1 1
1 1
0 0
A
 
 

 
 
 
V V H
A A
1 1
1 1 0 2 2
1 1
1 1 0 2 2
0 0
H
A A
 
    
     
    
 
2 2
( 4) 0
2 2
H
I A A

  

 
    
 
1 2
4, 0  
1
1 1
2 2
T
v
 
   
 
2
1 1
2 2
T
v
 
  
 
1 1
4 02 2
,
1 1 0 0
2 2
V D
 
  
 
    
    
 
0
0 0
r
 
  
 

1 2
4, 0   1 2
2, 0  
2 0
0
0 0
0 0
0 0
r
 
   
    
  
 

U
1 1
1
1
1 2
1 1
1 1 12
1 1
12 2
0 0
02
u Av

 
 
 
    
                
  
 
 
1
u
3
R
，即，则2 3
1 0
1
1 , 0
2
0 1
u u
   
   
 
   
   
   
1 1
0
2 2
1 1
0
2 2
0 0 1
U
 
  
 
 
  
 
 
 
 
0
0 0
Tr
A U V
 
   
 


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