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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[ ] 考试科目名称：泛函分析
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
泛函分析 100%
4)题型结构
a: 判断题， 20 分
b: 填空题， 20 分
c: 计算题， 10 分
d：证明题， 50 分
二、考试内容与考试要求
1、距离空间和赋范线性空间
考试内容
（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集，稠密性与可分
性，连续映射的概念，距离空间中的完备性，列紧集，紧集及其上连续映射，具
体空间列紧集的判定定理，压缩映射原理及其应用。
（2）赋范线性空间：线性空间、范数、赋范线性空间、Banach 空间等概念，
赋范线性空间上范数的等价性，常见的具体 Banach 空间及其常用的范数的定义。
考试要求
（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集
闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性、
列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌
握压缩映射原理，并会用压缩映射原理分析映射的不动点。
（2）理解线性空间、范数、赋范线性空间等概念；掌握 Banach 空间、线性
赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见 Banach 空间中常用的范数的定义。
2、有界线性算子与连续线性泛函
考试内容
有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，线性算子空间、共轭（对偶）
空间，某些常见 Banach 空间的共轭空间。
考试要求
掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质，并会计算界线性算子和
连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性，熟悉算子空间、共轭（对
偶）空间的基本性质和某些常见 Banach 空间的共轭空间。
3、Hilbert 空间
考试内容
内积空间的基本概念与基本性质、几何特征、正交系、正规正交基、正交化，
Hilbert 空间的同构，射影定理、Hilbert 空间上的 Riesz 表示定理。
考试要求
熟悉内积空间的基本概念与基本性质、几何特征；熟练掌握正交系、正规正
交基、正交化、射影定理；理解 Hilbert 空间的同构、Hilbert 空间上的 Riesz 表
示定理。
4、Banach 空间的基本定理
考试内容
Hahn-Banach 延拓定理及其推论，Riesz 表示定理及应用，共轭算子及其性
质，第一、第二纲的集，纲定理，一致有界定理及应用，开映射定理，闭图象定
理，弱收敛和弱 收敛。
考试要求
熟练掌握 Hahn-Banach 延拓定理的推论、Riesz 表示定理、一致有界定理及
应用、开映射定理、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解 Hahn-Banach
延拓定理、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱 收敛。
教材及主要参考书：
[1] 江泽坚，孙善利， 泛函分析，高等教育出版社。
[2] 程其襄等， 实变函数论与泛函分析基础， 高等教育出版社。
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