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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码： 考试科目名称：微分方程
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
常微分方程部分 50% 偏微分方程部分 50%
4)题型结构
A: 填空题，10 小题，每小题 4 分，共 40 分
B: 计算题，4 小题， 每小题 10 分，共 40 分
C: 证明题, 2 小题，每小题 10 分，共 20 分
二、考试内容与考试要求
（一）常微分方程部分
1、常微分方程的基本概念
考试内容
常微分方程的导出及基本概念
考试要求
(1) 理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念。
(2) 掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特
解，方程和方程组，定解条件和定解问题。
2、一阶微分方程的初等解法
考试内容
变量分离方程与变量变换、线性方程及常数变易法、恰当方程与积分因子、
一阶隐方程与参数表示
考试要求
(1) 掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理
解齐次、非齐次概念。
(2) 熟练掌握线性方程的常数变易法。
(3) 掌握解恰当方程的积分因子法。
(4) 掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法。
3、一阶微分方程的解的存在定理
考试内容
解的存在唯一性定理与逐步逼近办法、解的延拓、解对初值的连续性和可
微性定理、奇解
考试要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。
(3) 掌握奇解的概念及相关定理。
4、高阶微分方程
考试内容
线性常微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和
幂级数解法。
考试要求
(1) 熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程.
(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关
系），了解拉普拉斯变换法。
(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。
5、线性微分方程组
考试内容
存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组
考试要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握线性微分方程组的一般理论。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数
变易公式。
(3)了解矩阵指数的定义及性质、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变
换的应用。
6、非线性微分方程和稳定性
考试内容
零解的稳定性、相平面、按线性近似决定微分方程组的稳定性
考试要求
(1)掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性。
(2)掌握二维线性微分方程孤立奇点的分类，并画出相图。
(3)掌握按线性近似判定奇点的分类与稳定性。
（二）偏微分方程部分
1、方程的导出和定解问题
考试内容
偏微分方程的基本概念；三类典型方程的导出；偏微分方程定解问题的提
法与适定性问题；叠加原理；二阶线性偏微分方程的化简与分类
考试要求
（1）了解偏微分方程的概念，掌握定解条件的提法、定解问题及定解问题
适定性。
（2）掌握二阶线性偏微分方程的化简与分类，会将两个自变量的二阶线性
偏微分方程化成标准型。
2、波动方程与行波法
考试内容
(1)一维波动方程初值问题: 达朗贝尔公式；依赖区域、决定区域与影响
区域；无界弦的受迫振动与齐次化原理；半无界弦的振动问题
(2)三维波动方程初值问题和球面波：三维波动方程球对称解；三维波动
方程的 Possion 公式及物理意义；非齐次方程初值问题
(3)二维波动方程的初值问题及降维法
考试要求
（1）了解如何用达朗贝尔公式求解初值问题；了解依赖区域、影响区域
及决定区域；能熟练应用达朗贝尔公式、Possion 公式、及降维法求
解二维波动方程。
（2）能熟练应用能量不等式证明初值问题解的唯一性及连续依赖性。
（3）能利用延拓法求解半无限长振动方程初边值问题。
（4）能利用齐次化原理求解非齐次方程初值问题。
3、分离变量法
考试内容
(1)齐次方程和齐次边界条件的定解问题：波动方程的初边值问题、热传
导方程的初边值问题、圆域内拉普拉斯方程的边值问题
(2)非齐次方程的定解问题
(3)非齐次边界条件的处理
考试要求
（1）会利用分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的定解问题。
（2）会利用特征函数展开求解非其次方程定解问题。
（3）会处理非齐次边界条件定解问题。
4、积分变换法
考试内容
(1)Fourier 变换：Fourier 变换的理论基础及性质
(2) Fourier 变换的应用：热传导方程初值问题的解法、半无界问题、三
维热传导方程初值问题、弦振动方程的 Fourier 变换解法
(3)Laplace 变换的引入及性质
考试要求
（1）了解 Fourier 变换定义及性质、了解 Laplace 变换的定义及性质、卷
积的定理及性质。
（2）会应用 Fourier 变换求解某些初值问题。
（3）会应用 Laplace 变换求解某些初边值问题。
5、调和方程与格林函数法
考试内容
Laplace 方程定解问题的提法、 Green 公式和应用、调和方程基本解和
解的积分表达式、Green 函数的性质及一些特殊区域上的 Green 函数和
Dirichlet 问题的解；拉普拉斯方程的极值原理与应用
考试要求
（1）掌握 Laplace 方程定解问题的提法：第一边值问题、第二边值问题及
第三边值问题、内问题及外问题。
（2）掌握 Green 公式， 了解调和方程的基本解及基本积分表达式。
（3）理解 Green 函数的性质及会应用一些特殊区域上的 Green 函数求解
Dirichlet 问题的解。
（4）能应用拉普拉斯方程极值原理证明解的唯一性及连续依赖性。.
6、抛物型方程
考试内容
热传导方程的极值原理与应用、热传导方程的能量方法与应用
考试要求
（1）会利用热传导方程的极值原理证明解的唯一性及连续依赖性。
（2）会利用热传导方程能量方法证明解的适定性。
三、参考书目
[1] 《常微分方程》，王高雄编，高等教育出版社
[2] 《数学物理方程》，陈才生编，东南大学出版社
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