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浙江工商大学 2013 年硕士研究生入学考试试卷（A）卷
考试科目：846 高等代数 总分：150 分 考试时间：3 小时
1．（15 分）计算 1n 阶行列式
1 1
2 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1 1
n n
a a
a a
D
a a
2. （20 分）设线性方程组
2
321
321
321
2
2
22
xxx
xxx
xxx
(1) 问当 为何值时，该线性方程组无解？
(2) 问当 为何值时，该线性方程组有无穷多解？并求其通解（用基础解系表出）。
3. （20 分） 设二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( , , ) 2 2 2
T
f x x x x Ax ax x x bx x (b 0 ),其中二次型的矩阵 A
的特征值之和为 1，特征值之积为-12.
(1) 求 ba, 的值; (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形, 并写出所用的正交变换对应的正交矩阵.
4.（20 分）在线性空间 3
][ xR 中，已知
2 2
1 2 3
1 2 , 1 2 , 2 ,x x x x x 规定变换
0
1
( )
x
T dx
x
, 3
[ ]R x . 证明：
(1) 1 2 3
, , 是 3
][ xR 的一组基, 而T 是线性变换；
(2) 求T 在基
2
321
1,1,1 xxx 下的矩阵 A .
5．（15 分）设 BA, 为 nn 矩阵，证明：如果 0AB ，那么秩 )( A ＋秩 nB )( .
6. (20 分) 设 1 2
, 是线性变换 的两个不同特征值， 1 2
, 是分别属于 1 2
, 的特征向量，证明：
(1) 1 2
不是 的特征向量；
(2) 如果线性空间V 的线性变换 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 是数乘变换。
7．(20 分) 设V 是 n 维欧氏空间， , 0 是V 中固定向量且线性无关。证明：
（1） 1
{ ( , ) ( , ) 0}V x x x 是V 的子空间；（2） 1
dim( ) 2V n .
8. (20 分) 设 A 是n 维线性空间V 的线性变换 A
2
A, 证明：V A, V A
–1
(0) 。
答案写在答题纸上，写在试卷上无效 第 1 页（共 1 页）
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