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西北大学 2010 年招收攻读硕士学位研究生试题
科目名称：数学分析 科目代号：622
适用专业：数学系各专业
1.证明：若函数 ( )f x 在 ,a b 上连续，则 ( )f x 在 ,a b 上必有最大值和最小值.
（15 分）
证：因为函数 ( )f x 在 ,a b 上连续
所以 ( )f x 在 ,a b 上有界
于是由确界原理知， ( )f x 在 ,a b 上有上确界，记之为 M
下证：存在 ,a b ，使得 ( )f M ，否则，对一切 ,x a b ，都有 ( )f x M
令
1
( ) , ,
( )
g x x a b
M f x
则 ( )g x 为 ,a b 上的连续函数
于是 ( )g x 在 ,a b 上有上界，不妨设G 为 ( )g x 在 ,a b 上的一个上界
则对任意的 ,x a b ，都有
1
0 ( )
( )
g x G
M f x
1
( ) , ,f x M x a b
G
1
M
G
为 ( )f x 在 ,a b 上的一个上界，而这显然与上述推得的 M 为 ( )f x 在
,a b 上的上确界（最小上界）矛盾 假设不成立
故必存在 ,a b ，使得 ( )f M ，即 ( )f x 在 ,a b 上必有最大值
同理可证： ( )f x 在 ,a b 上必有最小值
2.讨论函数
2 2 2 2
2 2
2 2
1
( ) sin , 0
( , )
0, 0
x y x y
z f x y x y
x y
在坐标原点处：
（1）是否连续？（2）是否存在偏导数？（3）是否可微？ （18 分）
解：（1）因为 2 2
2 2( , ) (0,0 )
1
lim ( ) 0, sin 1
x y
x y
x y
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