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一 、（ 20 分 ） 假 设 一 个 母 鸡 一 年 产 k 个 蛋 的 概 率 为
( 0,1, , 0)
!
k
e k
k
，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 p 。
1、证明：该母鸡一年恰有 r （非负整数）个下一代（即小鸡）的概率
为
p
r
e
r
p
!
)(
；
2、若该母鸡一年共 20 个后代，问该母鸡一年共产 15 个蛋的概率。
二、（20 分）设二维随机变量 ( , )X Y 的联合密度为
2 5
0, 0
( , )
0
x y
ke x y
f x y
其它
1、 求常数 k ；
2、 求 X 的分布函数及 2
X 的密度函数；
3、 X 与Y 是否独立？为什么？
4、 求数学期望 ( )E X Y 及方差 ( )D X Y 。
三、（20 分）设二维连续型随机变量 ( , )X Y 的联合概率密度为：
1
, 1, 1
, 4
0
xy
x y
f x y
其他
1、 求随机变量 X 和Y 的边缘概率密度；
2、 求 X 和Y 的相关系数 ( , )X Y ，并说明 X 和Y 是否相关？ X 和
Y 是否独立？
3、 计算 ( 1)P X Y 。
四、（20 分）1、对连续型随机变量 X ，有 ( 1)
r
EX r ，则对任意 0
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