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南京农业大学
2006 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
本试题共 2 页,第 1 页
试题编号：422 试题名称：高等代数
注意：答题（含填空题）一律答在答题纸上，答在草稿纸或试卷上一
律无效
一 填充题（4×5 分=20 分）
1．多项式 f(x) = x
3
8 在复数域上的分解为 。
2．多项式 x
3
6x
2
+ 15x 14 的有理根是 。
3．多项式 f(x) 除以 axb (a 0)所得的余式为 。
4．设
011
120
100
A , 则 A 的逆矩阵是 。
二（15 分）设 A 为 n×n 矩阵, n 2。证明：(A*)* = A
n-2
A, 其中 A*表示矩阵 A 的伴随矩阵。
三（15 分）设 n 阶矩阵 A
0...222
.......
.......
.......
2...202
2...220
, 求A。
四（20 分）用配方法化二次型
f(x1, x2, x3) = x1
2
+4 x2
2
+ x3
2
+ 2x1x2 10x1x3 + 6x2x3
为标准形, 并求相应的线性变换, 以及它的正惯性指数和符号差。
五（20 分）设
,2)1(
,2)1(
,2)1(
24
321
23
321
2
321
xxx
xxx
xxx
(1) 求上述方程组的系数行列式; (2) 当为何值时方程组有解, 并求解。
六（15 分）（1）什么叫欧氏空间？（2）证明：欧氏空间 V 的每个子空间 W 都有唯一的正交
补。
七（15 分）如果 A 为 n×n 矩阵, A
2
= E, 证明：
R(A+ E) + R(A E) = n。
这里 R(A)表示矩阵 A 的秩。
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