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南 京 财 经 大 学
2009 年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目： 818 高 等 代 数
适用专业： 应 用 数 学
考试时间： 2009 年 1 月 11 日下午 2：00—5：00
注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
1. (15 分) 计算 n 阶行列式
1 2 3
2 3 4 1
.3 4 5 2
1 2 1
n
n
D
n n
=
-
L
L
L
L L L L L
L
2. (15 分) 设 ( ), ( )f x g x 为数域 P 上的两个多项式, m 为给定的正整数. 若
( ) ( ),
m m
f x g x 则 ( ) ( ).f x g x
3. (20 分) 已知方程组
1 2 3
1 2 3 4
1 2 4
3 3,
(I) 4 1,
2 6 0,
x x x
x x x x
x x x
ì - - =ï
ï
ïï - - - =í
ï
ï + - + =ïïî
3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 1 ,
(II) 5,
2 11,
x x t
x mx x x
nx x x
ì - = -ï
ï
ïï + - - = -í
ï
ï - - = -ïïî
(1) 求方程组(I)的通解；
(2) 确定 , ,m n t 的值，使方程组(I)与(II)同解.
4. (25 分) 设 A, B 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位矩阵. 证明:
(1) 若 AB = 0, 则 秩( A ) + 秩( B ) n.
(2) 若 A2
= E, 则 秩 ( )-A E + 秩( )+A E = n.
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