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昆明理工大学 2013 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码：840 考试科目名称 ：高等代数
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1. (15 分) 设 p 是一个素数, 多项式 ( ) 2 1
p
f x x px p . 证明: ( )f x 在有理数域上不可
约.
2. (10 分) 计算 n 阶行列式
1 2 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
n
n n n
x
x
D
x
a a a a a
.
3. (10 分) 设向量组 1
, 2
, , n
线性无关, 向量 1
可用它们线性表示, 向量 2
不能用它
们线性表示. 证明向量组 1
, 2
, , n
, 1 2
线性无关.
4. (15 分) 已知矩阵
1 0 0
1 1 0
1 1 1
A
,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
B
,
且矩阵 x 满足 A A B B A B B A E x x x x , 其中 E 是单位阵, 求 x .
5. (15 分) 取何值时, 线性方程组
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
2 4
x x x
x x x
x x x
有唯一解、无解、无穷多解? 在有无穷多解时, 求其通解(用向量形式表示).
6. (15 分) 设二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3
( , , ) 2 2 4
T
f x x x A x x x x x x x , 利用正交变换将二次型 f 化
为标准形, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
7. (20 分) 已知 3 维线性空间V 的一组基 1
, 2
, 3
, 设
1 1 3
, 2 1 2
, 3 1 2 3
.
(1) 求由基 1
, 2
, 3
到基 1
, 2
, 3
的过渡矩阵;
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