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哈尔滨工业大学
二零零六年硕士研究生考试试题
考试科目：数学分析
报考专业：基础数学 计算数学 应用数学 运筹学与控制论
考试科目代码：[312]
（每题 15 分，总分 150）
1。设 cos1 cos2 cos
n
n
n
x L
e e e
，按提示思路利用三种不同的方法
证明数列{ nx }收敛：
（1）利用 cauchy 准则（2）利用绝对收敛和收敛的关系（3）
利用 dirichlet 判别法（4）其他方法。
2。设 ( )x 在[0，+ ），且
2005
lim { ( ) } 0x
x
x
x
e
。证明 ( )x 在[0，+ ）
上一致连续。
3。设 ( )f x 在（-2，2）内可微，证明在（-2，2）内至少有
'
(1 ) ( ) 1 2x x f x x 的一个零点。
4。设 ( )f x 在 (0, ) 内二阶可导， lim ( ) 0
x
f x
但 '
lim ( )
x
f x
不存在。
证明存在 o
x >0 使 ''
( )o
f x >1(注意是二阶导数)
5.设 f(x)在[a,b]上有定义,且在每一点处极限存在,利用区间套
原理证明 f(x)在[a,b]上有界
6. sin
( )
x
f x
x
( (0,1]x ); ( ) 1( 0)f x x ,证明对任意自然数 2n ,存在
唯一 n
x (0,1) 使
1
1
sin
sin
n
n
x
x
n
x x
dx dx
x x
,进一步 lim n
n
x
存在.
7. 设 ( )n
f x 在 [a,b] 有 定 义 , 有 (0,1] 使
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