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桂林电子科技大学
2016 年硕士研究生统一入学考试试题
科目代码: 601 科目名称: 高等代数
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一、（本题 15 分）当 2n 时，计算行列式
1 2 2 ... 2
2 2 2 ... 2
2 2 3 ... 2
2 2 2 ... n
.
二、（本题 15 分） 为何值时，方程组
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1x x x
x x x
x x x
分别有唯一解、无解和无穷解？并在有无穷解时，求其全部解.
三、（本题 15 分）证明：若向量组 1 2
, ,..., r
线性无关， 1 2
, ,..., ,r
线性相关，则向量
可以由向量组 1 2
, ,..., r
线性表示.
四、（本题 20 分）已知二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) (1 ) (1 ) 2 2(1 )f x x x a x a x x a x x 的秩为 2.
（1）求 a 的值；
（2）求正交变换化 1 2 3
( , , )f x x x 为标准形.
五、（本题 20 分）设三维线性空间V 上的线性变换 在基 1 2 3
, , 下的矩阵为
1 0 2
1 2 1
1 2 5
A
，
（1）求 在基 2 1 3
, ,k 下的矩阵，其中 k 为数域 P 上的非零常数；
（2）求 在基 1 2 2 3
, , 下的矩阵；
（3）求 的值域.
六、（本题 15 分）求矩阵
1 2 6
1 0 3
1 1 4
A
的不变因子及若尔当标准形.
七、（本题 15 分）当 ,a b 满足什么条件时，多项式
4
( ) 4f x x ax b 有重根？
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