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试题编号： 7 / V 试题名称： 奴執柯____________________________
1 东 南 大 学
? 0 1 0 任 攻 读 硕 士 学 忤 研 奋 牛 入 学 考 试 试 卷
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试题编号： 71¥ 離 S 称：
—、判断题.（判断下列命題正误，若正确请证明，否则请给出反例说明，
本题共4 小题，每小题6 ^ ，满分2 4 分 ）
1.有限开区间（a,6) 七的有界连续函数必是一致连续.
2. (a,b)上的任一* 数，如果它在c € (a,b)可导，则它必在c 点的某邻
域内连续.
00
, 3.任一幂级数Da„; rn 的和函数在其收敛区间内总是无穷次可导•
! n=l
4 . 如果函数z = f{ x ,y ) 在区域D e i ?2 上每一点处的兩个偏导数都存
在，则■?= /(>,y)在区域D e i ? 2 上处处可微.
； 二、计 算题（本题共8 小题，每 小题8 分，满 分 5 6 分 ）
; 2 + ex \/ex2 —1
5.极 限 lim — ^ + ― — — 存在吗？若存.在，试求出此极限.
z—0 1 + e： ex - 1
6.设 2/= y(x) 由才程 y = /(a:2+ y2) + f(x + y ) 所項定，且 j/(0) = 2,其
中/(x)是可导函数，且 /'⑶ = |，/'(4) = 1,求 y'(0).
7 . 设 认 是 由 扼 物 线 y — 2x2 和 直线a: = a,a: = 2 和 j/ = 0 所围成的
区域， £»2 是由抛物线v = 2x2 和 直 线 y = 0，;r = 所囤成的区域，其中
0 < a < 2.
(1)求 由 绕 J：轴旋转所成旋转体的体积％ 和 由 D 2 绕 2/ 转所成
旋转体的体积％;
(2)问当a 为何值时， ％ + V2 取得最大值？求此最大值.
8.设对任意a;> 0,曲线j/= f ( x ) 上 点 （re,/(i))处的切线在y 轴上的截
距等于i fo 求 f(x ) 的一般表达式•
9.将函数/(a：)= arctan ^ 展 成 a;的幂鈒数，并 求 和 f i-1 )"
1十 ^ 0 2n + 1
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