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北 京 科 技 大 学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共 2 页）
适用专业： 数学、统计学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.
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一（15 分）、判断 5 4 3 2
( ) 3 5 7 6 2f x x x x x x 有无重因式，若有，请求出 ( )f x
的所有重因式并指出其重数.
二(20 分)、设矩阵
1 1 1
2 1 2
2 1 0 ,
1 1 1
1 1 1
A B
.
（1）计算矩阵 T
AB 以及行列式 T T
AB BA ；
（2）求矩阵C ，使得C A B .
三(20 分)、研究 k 取何值时，线性方程组
1 2 3
1 2 3
2 3
5
3 2 18 5
2 2
kx x x
x x kx k
x x
（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.
四(20 分)、设二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 5 2 6 6f x x x x x cx x x x x x x 的秩为2 .
（1）求参数c 使得该二次型的秩等于 2；
（2）写出该二次型的矩阵 A ；
（3）求一个正交矩阵 P 和一个对角矩阵 使得
1
P AP
；
（4）求一个非退化线性替换 x Cy 把该二次型化为标准形.
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