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中国科学院长春应用化学研究所
二 00 八年攻读博士学位研究生入学考试
高等数学（三）试题
1．求极限（10 分）
（1）
nnn
n
nnnnn
222
2
2
1
1
lim
（2）
x
xx
x cos1
)1ln(
lim0
2．计算积分（10 分）
（1） 2
2 xx
ee
dx
（2）
0
42
sinsin dxxx 。
3．求证：方程 0
3
qpxx )0( p 有且只有一个根。（10 分）
4．计算重积分
D
dxdyyI
2
1 ，其中 D 为 1
22
yx 与 || xy 所围成的区域。
（10 分）
5．求级数
1
1
)12)(12(
)1(
n
n
nn
的和。（10 分）
6．求方程 yxy
xdx
dy
4
)0,0( xy 的通解。（10 分）
7．求矩阵
111
131
111
A 的特征值以及相应的线性无关的特征向量组。（10 分）
8．设 A 为 3 阶矩阵， 1
, 2
为 A 的分别属于特征值 1 , 1 的特征向量，向量 3
满
足 323
A 。（10 分）
(1) 证明 1
, 2
, 3
线性无关；
(2) 令 ),,( 321
P , 求 APP
1
.
9．某城市下雨的日子占一半，天气预报的准确性占
10
9
，某人每天上班为下雨烦
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