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青岛大学 2014 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：816 科目名称：高等代数（共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、（10 分）计算n 级行列式
nnnn
n
n
n
bababa
bababa
bababa
D
21
22212
12111
.
二、（20 分）讨论 ba, 取何值时，下面方程组
42
3
4
321
321
321
xbxx
xbxx
xxax
无解，有唯一解，有无穷多解？有解时，求其解.
三、（15 分）设n 级方阵 A 满足 AA 2
，用 E 表示n 级单位矩阵，证明：
秩（ A ） 秩（ EA ） n .
四、（10 分）设 )(),(),( xhxgxf 是三个多项式，证明： 1))()(),(( xhxgxf
当且仅当 1))(),(( xgxf 且 1))(),(( xhxf .
五、（15 分）设 BA, 是两个方阵，证明：
（1）若 A 是正定矩阵，则 1
A 也是正定矩阵；
（2）若 BA, 都是正定矩阵，则 BA 也是正定矩阵；
（3）若 BA, 都是正定矩阵，则 AB 必定是正定矩阵吗？举例说明.
六、（20 分）设 21,VV 是线性空间V 的两个非平凡子空间，证明：
（1） 2121 VVVV 当且仅当 21 VV 或者 12 VV ；
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