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昆明理工大学 2011 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
考试科目代码： 616 考试科目名称 ：数学分析
试题适用招生专业 ：070102 计算数学、070104 应用数学、071101 系统理论、071102
系统分析与集成
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
1、 设 0, ( 1, 2, )n
x n 及 lim ,n
n
x a
，用 N 语言证明： lim .n
n
x a
（15 分）
2、2、设 ( )f x 在[ , ]a b 上非负且三阶可导，方程 ( ) 0f x 在( , )a b 内有两个不同实根，证明：存在
( , )a b ，使得 (3)
( ) 0f .（15 分）
3、 试证： 1
p
x px p ，其中 0, 0 1x p .（15 分）
4、 设 f x 连续，证明：
2 2
2
2
1 1
( ) ( )
a a
a dx a dx
f x f x
x x x x
. （15 分）
5、 用一致连续定义验证：
2
( ) sinf x x 在 ( , ) 内不一致连续.（10 分）
6、 证明：若级数
1
, ( 0)n n
n
a a
收敛，则 2
1
n
n
a
也收敛. 反之不成立，请举出例子. （15 分）
7、 求级数 1
1
( 2)
n
n
n n x
的收敛区间与和函数.（15 分）
8、设
x y
u yf xg
y x
， f 与 g 具有二阶连续导数，求
2 2
2
u u
x y
x x y
. （15 分）
9、计算
1
12
1 1 1
4 2 2
y yy y
x x
y
dy e dx dy e dx .（10 分）
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