2004年江苏大学数学分析2004考研真题硕士研究生入学考试试题

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江苏大学 2004 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效！
1．设 0,0  a ， 






a
aa

2
1
1
， 








n
nn
a
aa

2
1
1
， ,2,1n ，证明：数列 n
a
收敛，并求其极限。（12 分）
2．设 f 在  ,0 上连续，满足   xxfo  ，   ,0x ，设 ,01
a  nn
afa 1
，
,2,1n ，证明：（1）  n
a 为收敛数列；（2）设 tan
n


lim ，则有   ttf  ；（3）若条
件改为   xxf 0 ，   ,0x ，则 0t 。（14 分）
3．设   00 f ， f  在原点的某邻域内连续，且   00 f 。证明
 
1lim
0


xf
x
x 。（10 分）
4．证明：若 f 在  ba, 上连续增，      
 





 
axaf
baxdttf
axxF
x
a
,
,,
1
，则  xF 为 ba, 上
的单调增函数。（10 分）
5．设 f 为






1,
2
1
上连续函数，证明：（1）   xfx
n
在






1,
2
1
上收敛；（2）   xfx
n
在






1,
2
1
上一致收敛的充要条件是   01 f 。（12 分）
6．设      0
0,0
0,
,
22
22
22








 p
yx
yx
yx
xy
yxf
p
，试讨论函数在  0,0 处的连续性。
（10 分）
7．计算曲线积分：     
AB
xx
dymxyedxmyye cossin ，其中 m 为常数， AB 为由
 a,0 到  0,0 经过圆 axyx 2
22
 上半部的路线。（14 分）
8．设  yxf , 在     ,0,0  上连续，且恒取正值，求：     






y
x
n
n
dyxfx
0
0
1
,sinlim 。
（12 分）
9．设周期为 2 的可积函数  x 与  x 满足关系式：    xx   ，则给出函数  x 的
Fourier 系数 nn
ba , 与函数  x 的 Fourier 系数 nn
 , 之间的关系。（14 分）
10．设函数 f 定义在  ,a 上， f 在每一个有限区间  ba, 内有界，并满足
     Axfxf
x


1lim ，证明：
 
A
x
xf
x


lim 。（8 分）
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