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05 年 A 卷
1、（15 分）（1）设
ln(1 ) 0
( )
1 0
x
x x
f x
e x
，求证： ( ( ))f f x x
（2）除 上述函 数及 y x x c 、 以外，试 再给出 一个函 数使满 足 x ，
( ( ))f f x x 。
1、 （15 分）设 ( )f a 存在， ( ) ( )g x f x ，求证：
（1） 若 ( ) 0f a ，则 ( )g x 在点 a 可导。
（2） 若 ( ) 0f a ，则 ( )g x 在点 a 可导当且仅当 ( ) 0f a 。
2、 （10 分）设 ( )f x 在区间开 ( , )a b 连续， ( , )k
x a b ( 1, 2, , )k n ，求证：
存在 ( , )a b 使 1 2
2
( ) [ ( ) 2 ( ) ( )]
( 1)
n
f f x f x nf x
n n
。
4 、（ 15 分 ） 设 ( )f x 在 ( , ) 内 连 续 ， 并 且 是 单 调 增 加 的 奇 函 数 ， 又 设
0
( ) (2 ) ( )
x
g x t x f x t dt 。试判断 ( )g x 的单调性和奇偶性并证明之。
5、（15 分）讨论 ( , ) 2f x y xy x y 在点 (0, 0) 处的可微性。
6、（15 分）设 ( )f u 非零并且可微， 2 2
( )
y
z
f x y
，求证：
2
1 1z z z
x x y y y
。
7、（20）（1）求
2 2 2
( , , ) 2 5 4f x y z x y z yz 在单位球面 S ：
2 2 2
1x y z 上的最小
值和最大值；
（2）求证：
3
( , , )x y z 成立不等式
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 5 4 6( )x y z x y z yz x y z 。
8、（15 分）证明函数项级数
1
sin
n
nx
n
在开区间 (0, 2 ) 收敛但不一致收敛。
9、（30 分）计算下列积分：
（1）设 ( )f x 在闭区间[0,1] 连续，
1
0
( )f x dx m ，求
1 1
0
( ) ( )
x
dx f x f y dy 。
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