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河南大学 2001 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一 、（ 10 ） 设 A 是 复 数 域 C 上 的 n 阶 方 阵 ， ( ) [ ]f x C X∈ ， ( )g x 是 A 的 最 小 多 项 式 ，
( ) ( )( ) ( ),f x g x d x= ，求证：（1）秩 ( )d A = 秩 ( )f A ，（2） ( )f A 可逆 ( ) ( )( ), 1f x g x⇔ = ［注 ( )f x
是非零多项式］.
二、(10)设 2 3, , ,α β γ λ 均为三维向量,令 2 2
3 3
2 ,
3
A B
α β
γ γ
γ γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,已知行列式 18, 2A B= = ,求矩阵 A
和 B 的差的行列式 A B− .
三、(10)已知
1 2 3
2 4
3 6 9
Q t
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,三阶非零矩阵 P 满足 0PQ = ,试就参数 t 的取值情况,讨论矩阵 P 的
秩.
四、(10) k 为何值时,线性方程组
1 2 3
2
1 2 3
1 2 3
4
2 4
x x kx
x kx x k
x x x
+ + =⎧
⎪
− + + =⎨
⎪ − + = −⎩
有唯一解、无解和无穷解?在有无穷解时求其通
解.
五、(15)设 ,A B 都是 n 阶是对称矩阵,证明:如果 ,A B 都是正定矩阵,那么 AB 也是正定矩阵.
六、（15）设 1 2,V V 都是数域 F 上的线性空间V 的子空间，如果 Vα∀ ∈ ，有 1 2V Vα ∈ U .证明: 1V V=
或 2V V= .
七、设 1 2 3, ,ξ ξ ξ 是三维向量空间V 的一组基,线性变换σ 为
( )
( )
( )
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
3 2 3
2 2 6
2
σ ξ ξ ξ ξ
σ ξ ξ ξ ξ
σ ξ ξ ξ ξ
= − +⎧
⎪
= − +⎨
⎪
= − + −⎩
,设 A 为σ 在基
1 2 3, ,ξ ξ ξ 下的矩阵,试给出可逆矩阵 ,A P 及 B ,使
1
P AP B−
= .
八、(15)设η 是欧氏空间中的一单位向量,定义线性变换 ( )A 2 ,α α η α η= − ,证明: A 是第二类正交
变换.
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