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2016 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）
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学科、专业名称：统计学、数学学科各专业
研究方向：各方向
考试科目名称：数学分析 709
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. 计算题 (小题每题 8 分, 共 64 分).
(1) 2
1 1
lim (1 ) .
n
n n n
(2) 3
0
(1 cos ) sin
lim .
(arctan )x
x x
x
(3)
1
ln
1
lim ( , 0) ;
1
a x
b
x
x
a b
x
(4)
2 2 21 2
lim (1 ( ) )(1 ( ) ) (1 ( ) ).n
n
n
n n n
(5)
3
2
sin cos
.
1 sin
x x
dx
x
(6)
3 2
2 2( , ) (0,0 )
lim .
4 2x y
x xy
x y
(7) 求幂级数 1
1 ( 1)!
n
n
n
x
n
的收敛域及和函数.
(8) 计算 ,
S
xyzdxdy 其中S 是上半球面 2 2 2
1, 0x y z z 与平面 0z 所围空间区
域的表面, 取外侧.
2. 讨论题 (每小题 8 分, 共 16 分).
(1) 设 1 1
3, 3 , 1, 2, ,n n
x x x n
试讨论数列{ }n
x 的敛散性, 若收敛, 求其极
限.
(2) 讨论反常积分 2 3 20
arctan
(1 )
x
dx
x
的敛散性, 若收敛, 求其值.
3. 证明题 (共 70 分).
(1) 用 N 定义证明 lim 0 .
3
n
n
n
(8 分)
(2) 按函数极限定义证明 2
2
3
lim .
4x
x
x
(8 分)
(3) 设函数 f 在[0, ) 上连续, 极限 lim ( )
x
f x
存在. 证明 f 在[0, ) 上一致连续.
(10 分)
(4) 证明下列不等式:
2 2
ln (1 ) ( 0).
2 2(1 )
x x
x x x x
x
(10 分)
(5) 设函数 f 和 g 在 [ , ]a b 上二阶可导, ( ) ( ) ( ) ( ) 0,f a f b g a g b 且当 ( , )x a b
时, ( ) 0g x . 证明:
(I) 对 ( , ), ( ) 0 ;x a b g x
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