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华侨大学 2015 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
招生专业 基 础 数 学
科目名称 数学分析 科目代码 723
一、求下列极限及积分（本大题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）
（1） ( ) 2
211
0
2sin1lim x
xx
x
x
−−+
→
− ； （2）
xx
xxx
x sin
2cossin1
lim
0
−+
→
；
（3）
+
+
+
→
x
x
x
e
e
x
x
4
1
0
1
2sin
lim ； （4） xdxx ln2
∫ ；
（5） ∫ +
64
1 3
1
dx
xx
.
二、（本大题满分 10 分）
设 1 12, 2n nx x x+= = + ， ,2,1=n ，试证： lim n
n
x
→+∞
存在并求其极限值.
三、（本大题满分 13 分）
证明：函数
x
xf
1
)( = 在 ),[ ∞+a 上一致连续（其中常数 0>a ），但在 )1,0( 上不一致连续.
四、（本大题满分 10 分）
设 y 是由方程
x
y
yx arctanln 22
=+ 确定的 x 的函数，求
2
2
d y
dx
.
五、（本大题满分 12 分）
证明：函数
2
2 2
2 2
2 2
, 0,
( , )
0, 0.
x y
x y
f x y x y
x y
+ ≠
= +
+ =
在原点连续且偏导数存在，但在原点不可微.
六. (本大题满分 15 分)
设曲线 )0,0(2
≥>= xaaxy 与 2
1 xy −= 交于点 A ，过原点O 与 A 的直线与曲线 2
axy = 围成一平
面图形，求①此平面图形面积；②当 a 为何值时，该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最大，
最大为多少？
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