2012年中国科学院数学分析考研试题及解答考研真题考研试题

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中国科学院 2012 数学分析考研试题参考解答
引言
本文是中国科学院 2012 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试
题来自文献[1]．第二题由对称性计算定积分和二重积分．第五题证明连续函数的本性最大
模（范数）的积分定义式．第七题用介值定理和单调性处理代数方程求根问题．第八题计算
第一型曲面积分，附注中提供了另外的解题思路．
试题
1、（30 分，每小题 15 分）计算极限：
（1）
3 1 2
lim 2sin sin
n
n
n n
 
 
 
；
（2）
4
2
1
lim cos
x
x x
 
  
 
．
2、（30 分，每小题 15 分）计算积分：
（1） 2
30 1 tan
dx
I
x


 ；
（2），  2 2
1
S
J x yf x y dxdy  
其中为由曲线所围成的区域，S 3
, 1,y x y x   1  f x 为实值连续函数．
3、（15 分）求下列幂级数的收敛域：
1
1 1
1
2
n
n
x
n


  


．
4、（15 分）证明：函数列   2 2
1
1
n
x
s x n
n x
 

在区间  ,  上一致收敛；函数列
  2 2
1
1
n
nx
t x n
n x
 

在区间 0,1 上不一致收敛．
5、（15 分）设在区间 ,a b 上，  f x 连续，  g x 可积，并且    0, 0f x g x  ．证明
      
1
lim max
nb
n
an a x b
f x g x dx f x
  
 ．
6、（15 分）设在区间 0,a 上，  f x 二次可导，且    1, 1f x f x  ，则当  0,x a
时，  
2
f x
a

2
a
  ．

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