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北 京 科 技 大 学
2014 年硕士学位研究生入学考试试题
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试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页）
适用专业： 数学, 统计学
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
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1.(15 分) （1）计算极限
2
0
2
0
cos
lim
ln(1 )
x
x
xdx
x
；
（2）设 1 1
2(1 )
0, , ( 1, 2, 3, ),
2
n
n
n
a
a a n
a
证明: lim n
n
a
存在，并求该极限.
2. (15 分) (1)设 222
zyxu ，其中 ),( yxfz 是由方程 xyzzyx 3
333
所确定的隐函数, 求 xu .
(2) 设 2 2
3 3
x u v
y u v
z u v
，求
z
x
.
3. (15 分)设 )(xf 在 0, 2 上连续，且 )0(f ＝ (2)f ，证明 0
x 0,1 ，使
)( 0
xf ＝ 0
( 1).f x
4.(15 分) 设 f (x) 为偶函数, 试证明:
2
0
( ) d d 2 ( 2 ) ( ) d ,
a
D
f x y x y a u f u u
其中 :| | ,| | ( 0).D x a y a a
5. (15 分)设 )(xf 在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切 [0,1]x ，均有
( ) , ''( )f x M f x M . 证明: 对一切 [0,1]x ，成立 '( ) 3f x M .
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