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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[] 考试科目名称：实变函数
一、考试形式与试卷结构
1)试卷成绩及考试时间：
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
（一）测度论与可测函数部分 40%
（二）Lebesgue 积分与不定积分部分 60%
4)题型结构
a: 计算题，2 小题，每小题 11 分，共 22 分
b: 证明题，6 小题，每小题 13 分，共 78 分
二、考试内容与考试要求
（一）测度论与可测函数部分
1、n 维欧式空间中的点集
考试内容：开集、闭集的构造、分离定理
考试要求：
要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
要求考生理解 Cantor 集。
要求考生熟练掌握分离定理。
2、测度论
考试内容：Lebesgue 外测度，可测集、可测集类
考试要求：
测度的定义和性质；
掌握 Lebesgue 外测度和测度的定义和基本性质；
练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性
质。
掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；
了解特殊的两类集合，波雷耳集。
3、可测函数
考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的
构造，依测度收敛
考试要求：
熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几
乎处处成立的概念；
理解叶果洛夫定理；
理解并掌握鲁津定理及其逆定理；
熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反
例，Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理
（二）Lebesgue 积分与不定积分部分
1、Lebesgue 积分的概念与性质
考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的
极限定理
考试要求：
理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运
算， 勒贝格积分与 Riemann 积分的关系；
熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；
熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。
牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理，L 逐项积分定理，积分的可
数可加性，Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。
2、微分和不定积分
考试内容：有界变差函数、绝对连续函数
考试要求：
熟练掌握有界变差的定义，理解 Lebesgue 定理；
充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
三、参考书目
[1] 江泽坚等编《实变函数论》（第 3 版），高等教育出版社，2007 年第 3 版 .
[2] 程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003 年第 2 版 .
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