湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

考试科目代码：[602]           考试科目名称：高等数学

一、考试内容及要点

微积分与线性代数

1、函数与极限（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）

考试内容

(1)函数：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形，初等函数；简单应用问题的函数关系的建立。

(2)极限：数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。

(3)连续：函数连续的概念；左连续与右连续，函数间断点的类型；连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。

考试要点

理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念；理解极限的概念；理解函数左极限与右极限的概念，掌握函数极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则，掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

2、一元函数的微积分（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）

考试内容

(1)导数与微分：导数和微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义；函数的可导性、可微性与连续性的关系；导数和微分的四则运算法则，导数和微分的基本公式；复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。

(2)微分中值定理及导数的应用：微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）， 洛必达法则，泰勒公式；函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。

(3)不定积分：原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质，不定积分的基本公式；不定积分换元积分法和分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

(4)定积分：定积分的概念和基本性质，定积分的几何意义；变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分，定积分的应用。

考试要点

理解导数的概念及其几何意义，理解函数可导性、可微性、连续性之间的关系；会求平面曲线的切线方程和法线方程；熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；了解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理、泰勒公式；熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用单调性证明不等式；理解函数极值的概念，掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题；会判断平面曲线的凹凸性，会求平面曲线的拐点；会求平面曲线的水平、铅直渐近线。

理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分；理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功）；了解广义积分的概念，会计算广义积分。

3、多元函数微积分（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）

考试内容

(1)多元函数的概念，二元函数的几何意义；多元函数的极限和连续性；偏导数和全微分，多元函数可微性、偏导数存在性、连续性之间的关系；复合函数和隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值。

(2)二重积分的概念与性质，二重积分的几何意义；二重积分的计算。

(3)三重积分的概念与性质，三重积分的几何意义；三重积分的计算。

(4)曲线积分和曲面积分的概念与性质；曲线积分和曲面积分的计算。

考试要点

了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义；了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数；了解多元函数极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题；了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会交换积分次序。了解三重积分的概念与基本性质，掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标）的计算方法。了解曲线积分和曲面积分的概念与基本性质，掌握两类曲线积分和曲面积分的计算方法，掌握格林公式的应用。

4、无穷级数（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式。

考试要点

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件；掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x)n的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

5、行列式（仅适用于地图学与地理信息系统专业）

考试内容

n阶行列式、全排列(包括奇排列和偶排列)、逆序数、对换的概念；二阶、三阶行列式和逆序数的计算；特殊行列式的计算：对角行列式、三角行列式；范德蒙德行列式；对换定理；行列式的性质及其高阶行列式的运算；行列式按行和按列展开的法则；利用克来默法则解线性方程组；根据系数行列式的值分析和判断线性方程组的解。

考试要点

了解并能运用行列式的基本性质计算行列式的值；掌握行列式展开式的计算方法；了解利用克来默法则解线性方程组。掌握并能应用系数行列式的值分析和判断线性方程组解的情况。

6、矩阵（仅适用于地图学与地理信息系统专业）

考试内容

矩阵的基本概念；矩阵的运算：矩阵的加法、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘；逆矩阵的计算；矩阵分块法；初等矩阵的基本概念、矩阵的初等变换、矩阵的等价、矩阵的秩；行最简式；矩阵秩的求算；矩阵的三种初等矩阵；初等矩阵与初等变换的性质；n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

考试要点

掌握矩阵的概念及运算，了解逆矩阵的概念与性质，熟练应用矩阵的初等变换计算逆矩阵和矩阵的秩，对矩阵进行初等变换化行最简形；熟练掌握应用矩阵的初等变换求线性方程组的解。

7、向量组（仅适用于地图学与地理信息系统专业）

考试内容

n维向量、向量组的线性相关性、线性组合、线性表示、向量组等价、线性无关、线性相关、最大无关组、向量组的秩、向量空间的基本概念；向量组的线性相关性，向量组线性相关的充分必要条件，向量组的最大无关组与秩；向量组的线性表示与向量组秩的关系；等价的向量组；向量空间，向量空间的子空间；线性方程组的解的结构，n元齐次线性方程组的解空间以及解空间的基，n元非齐次线性方程组的解空间以及解空间的基；向量的内积、正交基、规范正交基、正交矩阵及相似矩阵的基本概念；矩阵特征值、特征方程、特征向量的计算、特征多项式；正交向量组的性质；方阵的特征值与特征向量；施密特正交化过程；特征向量线性无关的条件；相似矩阵满足的条件；n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件；对称矩阵的相似矩阵；正定矩阵的判定。

考试要点

掌握向量的运算法则、向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，会求向量组的最大无关组和；能熟练求出线性方程组的通解；能应用线性相关、线性无关的性质证明相关命题。理解矩阵的特征值和特征向量的概念，会计算矩阵的特征值和特征向量；熟悉矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件，了解对称矩阵的特征值和特征向量的性质；能熟练求解n元线性方程组的结构通解；能熟练掌握正定矩阵的判定。

二、参考书目

[1] 同济大学数学教研室编，高等数学（上、下）（第六版），高等教育出版社，2007。

[2] 同济大学数学教研室编，线性代数 (第六版)，高等教育出版社，2008。