2021年赣南师范大学硕士研究生入学考试考研大纲

同等学历加试科目：《数学分析》

一、试卷满分及考试时间

试卷满分：100分

考试时间：1.5小时

二、考试题型：计算题，证明题

三、考试大纲及参考书目

主要参考书：

    《数学分析》, 华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第三版

试卷考查内容比例：

    1.实数集与函数，数列极限，函数极限，函数的连续性.（10%）

    2. 导数与微分，微分学基本定理与不定式极限，运用导数研究函数性质.（15%）

    3. 不定积分，定积分，定积分的应用.（15%）

    4. 数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数.（15%）

    5 多元函数的极限与连续，多元函数的微分学.（15%）

    6．隐函数定理及其应用.（10%）

    7．重积分，含参量非正常积分.（10%）

    8．曲线积分与曲面积分.（10%）

考查内容：

 (一) 实数集与函数

①理解实数的有序性、阿基米德性、稠密性，掌握绝对值及不等式.

②理解确界概念，掌握确界原理.

③理解函数的概念，掌握函数的表示方法.

④了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.

⑤理解复合函数,分段函数和反函数概念.

⑥了解基本初等函数的性质及其图形.

⑦会建立简单应用问题中的函数关系式.

(二) 数列极限

①理解极限概念.

②掌握极限性质及四则运算法则.

③掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用重要极限求极限的方法.

(三) 函数极限

①理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系.

②掌握极限的性质及四则运算法则

③掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

④理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.

(四) 函数的连续性

①理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判断函数间断点的类型.

②掌握连续函数的性质和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质：有界性，最大值和最小值定理，介值定理，并会应用这些性质.

③理解一致连续性概念，掌握一致连续性定理.

 (五) 导数与微分

①理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程.了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

②掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，理解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用.

③理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数.

④会求分段函数的一阶、二阶导数.

⑤会求由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数

(六) 微分学基本定理与不定式极限

①理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理.

②理解并会用柯西中值定理.

③掌握用洛必达法则求不定式极限的方法.

 (七) 运用导数研究函数性质

①理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性区间和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.

②会用导数判断函数图形的凹凸形和拐点，会求函数图形的水平、垂直和斜渐近线，会描绘函数的图形.

(八) 极限与连续性(续)

①掌握实数完备性定理及其关系，能较好地运用完备性定理证明有关问题.

②理解闭区间上连续函数性质的证明.

③理解上极限、下极限概念.

(九) 不定积分

①理解原函数概念，理解不定积分的概念.

②掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法.

③会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.

(十) 定积分

①理解定积分的概念.

②掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

③理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式.

④了解非正常积分的概念，并会计算非正常积分，会判别非正常积分的敛散性,

(十一) 定积分的应用

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积及侧面积，变力作功，重心等.

(十二) 数项级数

①理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

②掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.

③掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.

④掌握交错级数的莱布尼兹判别法.

⑤了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和条件收敛的关系.

(十三) 函数列与函数项级数

①理解函数列的收敛域与极限函数的概念及一致收敛概念.

②理解函数项级数的收敛域与和函数的概念，及一致收敛概念.

③会使用判别法判别一致收敛性.

④会使用一致收敛性研究函数列和函数项级数的连续性，可微性，可积性.

(十四) 幂级数

①掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

②理解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性，逐项积分和逐项微分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

③理解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

④掌握 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.

(十五) 付里叶级数

①理解付里叶级数的概念，和函数展开为付里叶级数的狄利克雷定理.

②会将定义在[-l,l]上的函数展开为付里叶级数，会将定义在0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出付里叶级数的和的表达式

(十六) 多元函数的极限与连续

①理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

②理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.

③了解重极限与累次极限之间的关系.

(十七) 多元函数的微分学

①理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分.了解全微分存在的必要条件和充分条件.

②理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.

③掌握多元复合函数偏导数的求法.

④掌握曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

⑤掌握二元函数的泰勒公式.

⑥理解多元函数极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件.了解多元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

(十八) 隐函数定理及其应用

①理解隐函数，隐函数组概念.

②了解隐函数，隐函数组，反函数组存在定理.

③会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数.

④会求曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线的方程.

⑤理解多元函数条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值.

(十九) 重积分

①理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理,了解含参量正常积分的性质.

②掌握二重积分(直角坐标，极坐标)的计算方法，掌握三重积分(直角坐标，极坐标，球面坐标)的计算方法.

③会用重积分解决一些实际应用问题.

(二十) 重积分(续)与含参量非正常积分

①进一步理解二重积分定义，可积条件，可求面积等问题.了解变量替换定理的证明.

②掌握含参量非正常积分的一致收敛概念及判别法，并能用它来研究含参量非正常积分的连续性、可微性、可积性.

(二十一) 曲线积分与曲面积分

①理解两类曲线积分和两类曲面积分的概念.了解它们的性质及两类曲线积分的关系,两类曲面积分的关系.

②掌握两类曲线积分的计算方法，两类曲面积分的计算方法.

③掌握格林公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.

④掌握高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分.

⑤了解散度与旋度的概念，并会计算.