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《数学系（点集拓扑学）》教学大纲
学时：51 学时 学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
大纲执笔人：李伯权 大纲审定人：孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)
下保持不变的性质，即拓扑性质。目前，拓扑学的概念、方法和理论已经
广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应
用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此
无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要
的。点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空
间的自身结构与其间的连续映射的学科。
本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学
习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的
内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要
的基础。
2、课程教学的基本要求
（1）通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应
用拓扑学解决实际问题的能力。以便为以后进一步学习、研究
现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问
题解决问题的能力。
（2）系统掌握点集拓扑的基本知识。其基本内容包括：拓扑空间和
连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各
种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备
性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的
可积、可遗传等性质，基本群及其应用。掌握点集拓扑中的证
明方法。
（3） 本课程由于是数学专业大四毕业班的选修课程，课时较少，授
课时应灵活选择教学内容，合理安排。
3、课程教学改革
本课程注重培养学生高度的抽象思维能力、逻辑思维能力以及空
间想象能力。在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程《数学分析》
等之间的联系。
二、大纲内容
第一章 拓扑空间与连续映射（15 课时）
[内容要点]
朴素集合论（集合、关系、映射）， 度量空间的基本概念， 拓
扑空间与连续映射，领域、导集、闭集、闭包、内部，边界， 拓扑
的基和子基，拓扑空间中的序列。
[教学要求]
本章要求学生掌握集合的一些基本概念，特别是对集合的运算，
要比较熟练的掌握，要求学生掌握拓扑空间的定义、几中典型的拓扑
空间的例子，了解导集、闭集、闭包、基、子基等概念，掌握连续映
射的特征。
第二章 子空间， 有限积空间，商空间（6 课时）
[内容要点]
子空间， 有限积空间，商空间
[教学要求]
本章介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的方法。
要求掌握拓扑空间及其子空间的内在联系与区别，掌握有限积拓扑空
间及其空间的内在联系与区别，了解产生商空间的几何背景（莫比乌
斯带、环面及克莱因瓶等）。
第三章 连通性（6 学时）
[内容要点]
连通空间，连通性的某些简单应用，连通分支与局部连通空间
道路连通空间
[教学要求]
掌握拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性、局部连通性
和道路连通性，并理解它们的某些简单的应用（介值定理、不动点定
理、Boruk-Ulam 定理及其高维情形），能够用来区分一些互不同胚
的空间。掌握一些在连续映射下保持不变的性质、商性质、有限可积
性质。
第四章 有关可数性公理（3 学时）
[内容要点]
第一和第二可数性公理， 可分空间， Lindelof 空间
[教学要求]
本章要求学生掌握第一和第二可数性的概念及其拓扑不变性，会
判断具体空间的可数性，了解可分空间及林德勒夫空间。
第五章 分离性公理（6 学时）
[内容要点]
10
, TT ，Hausdorff 空间 正则、正规， 3 4
,T T 空间 完全正规空间，
Tychonoff 空间
[教学要求]
本章要求学生掌握 4210
,,, TTTT 正则、正规空间的概念和他们之间
的区别和联系。特别注意其中一些反例的选取，了解 Urysohn 引理和
Tietze 扩张定理的内容
第六章 紧致性（9 学时）
[内容要点]
紧致空间.紧致性与分离性公理.欧式空间中的紧致子集.几种紧
致性的关系.度量空间中的紧致性.局部紧致空间，仿紧致空间
[教学要求]
掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法（这些
方法哪些是充要条件）.掌握紧致性是否是连续映射可保留的，
是否是可遗传的、有限可积的．掌握紧致空间中各分离性公理
的关系.掌握 Hausdorff 空间中紧致子集的性质. 掌握新定义
的几种紧致性的定义及它们之间的关系．掌握度量空间中的紧
致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．度
量空间（特别是 ）中的紧致性性质要掌握．掌握局部紧致空
间、仿紧致空间的定义及性质。掌握局部紧致空间、仿紧致空
间中各分离性公理空间之间的关系。掌握局部紧致空间、仿紧
致空间与紧致空间之间的关系．
第七章 基本群及其应用（6 学时）
[内容要点]
道路类及其乘法。基本群及其性质。基本群的计算：圆周的基本群。
2 维的 Bronwer 不动点定理。Jordan 分割定理。
[教学要求]
理解定端同伦与道路类的概念；理解道路类乘法的定义与性质；理解
与掌握基本群的定义与性质；理解与掌握由连续映射所诱导的基本群
之间的同态的定义与性质。掌握计算（圆周的）基本群的方法。能用
圆周的基本群来解决一些实际问题，如证明代数基本定理与 2 维的
Bronwer 不动点定理。
三
1 本课程考核方式、方法: 闭卷笔试
2 教学参考书目:
熊金城 《点集拓扑讲义》高等教育出版社 第三版 2004
尤承业 《基础拓扑学》 北京大学出版社 2004
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