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硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称: 泛函分析
一、援引教材
《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江泽坚 孙善利编
二、考试要求
要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强
的分析问题与解决问题的能力。
三、考试内容
（一）距离线性空间
1． 距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。
2． 距离空间中的拓扑涵义，可分空间。
3． Cauchy 序列的性质，距离空间的完备性。
4． 列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。
5． 赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。
6． 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。
7． 常见空间 ],[,],,[ baLlbaC
pp
以及 )(),(),( cms 等空间中距离与范数之间的定义及关系。
掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。
8． 压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理
在理论上的典型应用。
（二）Hilbert 空间
1． 内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。
2． 赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。
3． 掌握内积空间 ],[,
22
baLl 的定义及其性质。
4． Hilbert 空间的定义；Hilbert 空间上的正规正交基，正规正交分解；
5． 掌握并熟练运用 Bessel 不等式、Schwarz 不等式及 Parseval 公式。
6． 掌握可分 Hilbert 空间的结构。
7． 掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握 RieszcheteFr
/
表现定理，Hilbert
空间上的线性泛函的表示。
8． Hilbert 共轭算子的定义、性质及其表示；可分 Hilbert 空间上有界线性算子的矩阵表达
式。
（三）Banach 空间及 Banach 空间上的有界线性算子
1. Banach 空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。
2. 有界线性算子空间 ),( YXL 的性质。
3. 算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。
4. Hahn-Banach 定理；扩张定理的几种表现形式，如 Banach 扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk
定理等。
5. Hahn-Banach 定理的一些推论，体现的不同侧面的 Hahn-Banach 定理的具体表现形式；
Hahn-Banach 定理的几何形式。Hahn-Banach 定理在理论及实际上的应用。
6. 分离定理，及其与 Hahn-Banach 定理之间的关系。
7. Baire 纲定理；第一纲集、第二纲集的定义与分类。
8. 一致有界原理（共鸣定理）；开映射定理；Banach 逆算子定理；闭图形定理以及它们的应
用。
9. 对偶空间的定义，几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式，如
],[),1](,[],,[),1(,
1
bacpbaLbaLpll
pp
等。
10. 二次对偶、典型映射、自反空间的定义；有限维赋范线性空间、 )1](,[ pbaL
p
、
Hilbert 空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。
11. Banach 共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。
12. 算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。
（四）有界线性算子谱论
1. 有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。
2. 掌握谱半径公式，应用公式解决问题。
3. 射影算子的定义；有界线性算子的不变子空间与约化子空间；F.Riesz 空间分解定理。
4. 紧算子的定义及其性质；紧算子的实例；紧算子与理想的关系。
5. Riesz-Schauder 理论：F.Riesz 定理；两择一定理；Fredholm 交替定理等定理内容与应
用。
6. 有界自伴算子的基本性质；紧自伴算子的定义与性质；酉算子的定义与性质。
7. 有界自伴算子的谱测度，谱分解定理与函数演算。
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