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科目代码:F1001 科目名称:实变函数
一、考试要求
主要考察考生是否掌握了实变函数的基本概念、基本理论和基本
方法,包括集合的势与对等、Borel集类、Lebesgue测度、可测函数、
可测函数的收敛、Lebesgue积分等的基本概念;集合序列的上下限集、
可测集经交并差运算、Lebesgue积分等的计算方法,Cantor 集的构
造、可测函数“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”
之间的关系,Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同,一般可测函
数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系,
Lebesgue积分的极限定理等;以及是否具备运用基本理论和基本方法,
分析解决问题的能力。
二、考试内容
1、集合的基本运算;集合序列的上、下限集。集合的势的定义,
势的性质,势的比较。常见集合的势及其基本性质;
2、n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念,
明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握Cantor 集;
3、外测度概念,外测度与体积的关系,可测集的定义及其性质,
包括可测集经交、并、差运算后的可测性,可数个可测集的交集或并
集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集
类;Lebesgue可测集的结构;
4、可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。
掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念和
它们之间的关系;
5、一般可测函数积分的定义,Lebesgue积分与广义Riemann积分
的异同,一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积
性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理,包括Levi定理、Fatou引
理、 Lebesue控制收敛定理及其应用,Riemann可积的充要条件。掌
握L 积分的概念,理解L 积分和R 积分的关系.掌握L 积分的性质,对
有关L 积分的三个极限定理及其应用。
三、题型
试卷满分为 100 分,其中:判断题占 30%,计算分析题占 20%,证明
题占 50%。
四、参考教材
1.《实变函数与泛函分析基础》(第三版).程其襄等.高等教育
出版社,2010。
2.《实变函数与泛函分析概要》(第三版).郑维行、王声望主编.高
等教育出版社,2005。

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